Commutators of simply-connected o-minimal groups
Mittwoch, 4.7.18, 16:30-17:30, Raum 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Groups definable in an o-minimal expansion of a real closed field can be seen as a non-standard version of a Lie group (if the real closed field is the real field then such a group is actually a Lie group). For example, algebraic groups over a real closed field are o-minimal groups. In fact, the behaviour of o-minimal groups rests in between algebraic groups and Lie groups. The definability of the derived subgroup is a good example of this dichotomy.\n\nThe commutator subgroup of an algebraic group is again algebraic. However, the commutator of a Lie group may not be a Lie subgroup (there are even solvable counterexamples). The commutator of an o-minimal group may not be definable; in previous work with Jaligot and Otero, we proved that it is so if the group is solvable. \nCommutators play an important role in any category of groups; they played a crucial role in Conversano-Onshuus-Starchenko's characterisation of which solvable Lie groups are definable in an o-minimal expansion of the real field. \n\nIn this talk I will present an overview of these results and provide new insights concerning commutators of simply-connected o-minimal groups.\n\n
Baumforcings und Ideale
Mittwoch, 11.7.18, 16:30-17:30, Raum 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Die Topologie des Cantor-Raumes, die durch endliche 0-1-Folgen erzeugt wird,nennen wir die Standardtopologie. Bezüglich dieser Topologie ist eine Teilmenge genau dann nirgends dicht, wenn es zu jeder endlichen Folge eine\nendliche Fortsetzung gibt, die zu keinem Element der Teilmenge Anfangsstück ist. Da jeder Cohen-Baum durch eine endliche Folge definiert wird, können wir das Obige als Definition des Ideals der Cohen-nirgends dichten\nMengen nehmen. Das \(\bsigma\)-Ideal der Cohen-mageren Mengen\nbesteht aus abzählbaren Vereinigungen Cohen-nirgends dichter Mengen. Diese beiden Definitionen können wir nun auf beliebige Baumforcings übertragen und uns fragen, ob die beiden Ideale übereinstimmen.\n\nIn dem Vortrag möchte ich nachweisen, dass im klassischen Mathiasforcing die beiden Ideale der Mathias-nirgends dichten Mengen und Mathias-mageren Mengen übereinstimmen, wenn wir jedoch das Mathiasforcing für stark unerreichbares \(\bkappa\) verallgemeinern, diese Gleichheit verlieren.
Stationäre Unabhängigkeit und die Erweiterung partieller Automorphismen
Mittwoch, 18.7.18, 16:30-17:30, Raum 404, Ernst-Zermelo-Str. 1
Die Automorphismengruppe \(G\) einer abzählbaren Struktur erster Ordnung ist, ausgestattet mit der Topologie punktweiser Konvergenz, eine polnische Gruppe. Insbesondere wenn die Struktur als Limes einer Klasse endlicher Strukturen entsteht, gibt es sehr enge Verbindungen zwischen den kombinatorischen Eigenschaften jener Klasse und den topologischen Eigenschaften von \(G\).\n\nIn diesem Rahmen wird vor allem der Zusammenhang der Eigenschaft des kleinen Index (SIP) und der Existenz generischer Automorphismen (AG) auf der topologischen Seite und der Erweiterungseigenschaft partieller Automorphismen (EPPA) und der Ramsey-Eigenschaft auf der kombinatorischen Seite untersucht.\n\nDes Weiteren tendieren solche Limesstrukturen häufig dazu, einen Begriff der stationären Unabhängigkeit (SIR) zwischen ihren endlichen Unterstrukturen definieren zu lassen, welche ebenfalls topologische und algebraische Eigenschaften von \(G\) determiniert.\n\nIn diesem Überblicksvortrag möchten wir die wichtigsten existierenden Konzepte und Zusammenhänge präsentieren und suggestive Fragen zwischen dem Zusammenhang der kombinatorischen Eigenschaften EPPA und der Existenz einer stationären Unabhängigkeit aufwerfen.