Prizes and Awards

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2021

Alumni-Preis

Lehrpreis der Fachschaft Mathematik

Klara Burger

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Frau Klara Burger erhält den Alumni-Preis 2021 für ihre Masterarbeit:
„Estimators of Mutation Rate in Population Genetics“

Die genetische Variation einer Spezies wird sowohl von epigenetischen als auch von Faktoren, welche auf die Gene selbst wirken, beeinflusst. Bei letzteren nehmen beispielsweise Faktoren wie Mutationen, Rekombinationen, Neutrale Selektion oder Populationsstrukturen eine zentrale Rolle ein. Diese Faktoren und deren Einfluss auf die genetische Variation zu untersuchen ist das Ziel der Populationsgenetik. Dabei erhalten Vererbungsprozesse, welche die Evolution genetischen Materials über die Zeit beschreiben, besondere Aufmerksamkeit. Die mathematische Populationsgenetik liefert den Rahmen, in welchem solche Faktoren analysiert werden können. Hierbei ist das Schätzen der skalierten Mutationsrate θ eine klassische Aufgabe, da der Parameter mit der genetischen Diversität einer Population korreliert.

Künstliche Neuronale Netze sind in vielen wissenschaftlichen Bereichen weitverbreitet und werden oft in Situationen begrenzten theoretischen Einblickes verwendet. Zudem werden üblicherweise komplexe Netzwerkarchitekturen gewählt, was das Verständnis des zugrunde liegenden Lernprozesses häufig erschwert. Aus diesem Grund werden in dieser Arbeit zwei schlichte Neuronale Netze als Schätzer der skalierten Mutationsrate vorgestellt, insbesondere ein Dense Feedforward Neural Network mit keinem beziehungsweise einem Hidden Layer. Zudem wird sich zunutze gemacht, dass das Schätzen von θ theoretisch sehr gut verstanden ist, weshalb in der Arbeit auch zunächst modellbasierte Schätzer betrachtet werden. Einer der bekanntesten ist hierbei der Watterson-Schätzer, ein einfach zu berechnender, erwartungstreuer und asymptotisch konsistenter Schätzer, welcher aber auch eine hohe Varianz aufweisen kann. Daher werden auch mehrere modellbasierte Schätzer betrachtet, welche Ei Eigenschaften des Watterson-Schätzers für verschiedene Rekombinationsszenarien verbessern, insbesondere lineare Schätzer (linear im Site Frequency Spectrum) mit einer kleineren Varianz oder mittleren quadratischen Abweichung.

Abschließend werden modellbasierte Schätzer und modellfreie Schätzer, hier die Neuronalen Netze, verglichen und mithilfe von Simulationen evaluiert. Dabei kann man beobachten, dass in Szenarien, in welchen die modellbasierten Schätzer optimal sind (im Sinne minimaler Varianz bzw. mittlerer quadratischer Abweichung) die Neuronalen Netze annähernd gleichwertige Schätzer darstellen. Darüber hinaus übertreffen die Neuronalen Netze die modellbasierten Schätzer in theoretisch anspruchsvollen Szenarien. Daher stellen Neuronale Netze eine attraktive Alternative zu modellbasierten Schätzern der skalierten Mutationsrate dar, insbesondere da sie unabhängig von der Rekombinationsrate uniform gut abschneiden.

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Vivien Vogelmann

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Frau Vivien Vogelmann erhält den Alumni-Preis für ihre Masterarbeit:
„The Triply Graded Link Homology – A New Approach“

Grob gesagt handelt es sich bei einer Knoteninvariante um eine Abbildung, die einem Knoten ein Objekt zuweist und äquivalente Knoten auf dasselbe abbildet. Im 20. Jahrhundert wurden eine Vielzahl polynomieller Knoteninvarianten entdeckt, wie zum Beispiel das berühmte Jones-Polynom oder später das HOMFLY-Polynom. Um 1990 entwickelte M. Khovanov eine Homologietheorie, welche sich als Kategorifizierung des Jones-Polynoms herausstellte, in dem Sinne, dass die graduierte Eulercharakteristik das Jones-Polynom liefert. Später konstruierten Khovanov und Rozansky dann eine weitere Link-Homologietheorie, versehen mit einer Dreifachgraduierung, welche das HOMFLY-Polynom kategorifiziert. In einer weiterführenden Arbeit definiert Khovanov schließlich eine dreifach graduierte Link-Homologietheorie, indem er zu jedem Zopf den zugehörigen Rouquier-Komplex betrachtet und darauf die Hochschild-Homologie anwendet. Er zeigt, dass diese Konstruktion isomorph zur Khovanov-Rozansky Homologie ist und damit selbst eine Linkinvariante liefert.

Die Motivation der Arbeit ist es, einen direkten, von der Khovanov-Rozansky Homologie unabhängigen Beweis zu führen, dass diese letztere, dreifach graduierte Link-Homologietheorie eine Linkinvariante darstellt.

Zunächst wird eine Einführung in die Theorie der Spiegelungsgruppen und Coxetersysteme gegeben, welche dann für die Definition der sogenannten Soergelschen Bimoduln essentiell sind. Diese wiederrum sind die Grundbausteine der Rouquier-Komplexe. Um die 'triply graded link homology' zu definieren, ordnet man jedem Zopf einen derartigen Komplex zu und wendet darauf die Hochschild-Homologie an, welche im Prinzip der derivierte Funktor des "im Kreis tensorieren Funktors" ist. Die Kohomologie dieses Komplexes ist ein dreifach graduierter Vektorraum. Der Beweis beschäftigt sich hauptsächlich mit der Invarianz dieser Zuordung unter dem zweiten Markovmove, welcher anschaulich das Glattziehen eines Twists beschreibt. Dafür wird eine konvergierende Spektralsequenz konstruiert, die von der Grothendieck Spektralsequenz herkommt.

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Lukas Hoffmann

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Herr Lukas Hoffmann erhält den Alumni-Preis für seine Bachelorarbeit:
„VOA=OPA – on two almest equivalent algebraic languages for chiral conformal field theory“

In der Physik spielt Quantenfeldtheorie eine zentrale Rolle in vielfältigen Teilgebieten wie etwa der Teilchenphysik, Stringtheorie, aber auch in der statistischen Physik und Festkörperphysik. Darüber hinaus sind insbesondere zweidimensionale Euklidische konforme Quantenfeldtheorien (CFTs) relevant in verschiedenen rein mathematischen Kontexten wie Monstrous Moonshine oder Mirror Symmetry.

Diese Art der CFT nimmt unter den Quantenfeldtheorien eine Sonderrolle ein, da sie sich gut mathematisch behandeln lässt. Dieser Umstand rührt vor allem daher, dass die komplexifizierte Lie Algebra infinitesimaler konformer Transformationen in zwei kommutierende Kopien der Virasoro-Algebra zerfällt. Dies hat zur Folge, dass es zu beiden Kopien jeweils eine Substruktur gibt, die besonders gut unter Kontrolle ist. Bei diesen Substrukturen handelt es sich um die sogenannten "chrialen Anteile" der CFT. Als "chirale CFTs" bilden diese einen eigenständigen Gegenstand der Forschung. Für chirale CFTs haben sich verschiedene Formalismen herausgebildet, wobei insbesondere die von R.E. Borcherds im Jahre 1986 (aus anderen Gründen) definierten "Vertex Operator Algebren" (VOAs) als "Standardsprache" hervorzuheben sind. VOAs sind seitdem intensiv erforscht worden und es gibt weitreichende Literatur über sie.

Ein auf den ersten Blick ähnlicher Ansatz wurde 1994 von K. Thielemans in seiner Dissertation unter dem Namen "Operator Produkt Algebra" (OPA) definiert. Jedoch haben OPAs bei weitem nicht die gleiche Verbreitung gefunden wie VOAs. Insbesondere durch Thielemans Implementierung endlich erzeugter OPAs für Mathematica hat sich dieser Formalismus trotzdem bis in die aktuelle Forschung hinein als nützlich erwiesen, wie etwa M.-A. Fisets Dissertation aus dem Jahr 2019 zeigt.

Gegenstand der Arbeit war es die Beziehung zwischen VOA und OPA vor dem Hintergrund chiraler CFT zu untersuchen. Zunächst lassen sich sowohl VOAs als auch OPAs als Spezialfälle einer (von mir sogenannten) "prä-z-Algebra" verstehen, also als Vektorräume mit einem Laurent-Reihen-wertigen Produkt. Als direktes Korollar der Theorie der VOAs ergibt sich, dass die Axiome einer VOA auch die einer OPA implizieren.

Die umgekehrte Richtung erweist sich jedoch als anspruchsvoller: In der Abwesenheit eines sogenannten "Nulloperator-Ideals" lassen sich schrittweise einzelne Resultate über VOAs (insbesondere Goddards Eindeutigkeitstheorem) auf OPAs übertragen. Damit kann letztlich bewiesen werden, dass jede OPA (ohne Nulloperator-Ideal) auch eine VOA bildet. Das Fehlen eines Nulloperator-Ideals ist dabei eine sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingung.

Damit ist gezeigt, dass VOA = OPA (ohne Nulloperator-Ideal) gilt. Allerdings muss betont werden, dass es relevante Beispiele von OPAs gibt, die ein solches Ideal besitzen. Um diese in Zukunft auch in der Sprache der VOAs behandeln zu können, wird eine entsprechende Verallgemeinerung von VOAs vorgeschlagen.

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Prof. Dr. Stefan Kebekus

Professor Stefan Kebekus erhält für seine Vorlesung Algebra und Zahlentheorie den Lehrpreis für die beste Vorlesung im Wintersemester. Er wich vom mittlerweile üblichen Konzept des Aufzeichnens von Vorlesungsvideos ab und stellte stattdessen ein „sehr genau ausgearbeitet[es] und unterhaltsam geschrieben[es]“ (Zitat aus einem Vorschlag) Skript zur Verfügung, mit dem sich die Teilnehmer*Innen im eigenen Tempo im Selbststudium beschäftigten. Auftretende Fragen konnten jede Woche in zahlreichen Sprechstunden und zwei Zentralübungen geklärt werden. Außerdem wurde das Skript, wo nötig, durch auf einzelne Beweise und spezielle Erklärungen fokussierte Videos ergänzt.

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Dr. Marius Müller

In der Kategorie beste Assistenz des Wintersemesters zeichnet die Fachschaft Doktor Marius Müller für seine Assistenz der Vorlesung Analysis III aus. Den Studierenden, die ihn für den Preis vorgeschlagen haben, gefielen sein „überdimensionales Engagement“ bei den Lösungsvideos und organisatorischen Fragen sowie seine „unglaubliche Hilfsbereitschaft“, insbesondere in den zweimal wöchentlichen Sprechstunden.

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2020

Alumni-Preis

Lindemann-Preis

Lehrpreis der Fachschaft Mathematik

Benedikt Geuchen

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Herr Benedikt Geuchen erhält den Alumni-Preis 2020 für seine Masterarbeit:
„Pfadabhängige funktionale und nichtlineare affine Prozesse“

Eine wichtige Aufgabe der Finanzmathematik ist die Optionspreisberechnung, also die sinnvolle Zuordnung eines Wertes zu einer Finanzoption, basierend auf den stochastischen Eigenschaften des zugrundeliegenden Basiswerts. Bei Finanzmarktmodellen in stetiger Zeit verwendet man hierbei Techniken der stochastischen Analysis. Hierzu zählt zum Beispiel die Itō-Formel, die man als "Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung" für das stochastische Integral auffassen kann. In den Jahren 2009 und 2010 haben Bruno Dupire, Rama Cont und David-Antoine Fournié eine funktionale Version der Formel bewiesen, bei der pfadabhängige Funktionen betrachtet werden können, also solche, die vom gesamten Verlauf des zugrunde liegenden stochastischen Prozesses abhängen können.

In der Arbeit werden Anwendungen dieser funktionalen Version der Itō-Formel auf die Optionspreisberechnung betrachtet, wobei nun insbesondere pfadabhängige Optionen wie beispielsweise asiatische Optionen betrachtet werden können. Diese Anwendungen können grob in zwei Themenbereiche eingeteilt werden. Zunächst wird eine funktionale Version der sogenannten Feynman-Kac-Gleichung bewiesen. Diese erlaubt es, Optionspreise durch das Lösen einer Differentialgleichung zu berechnen. Im zweiten Themenbereich wird das von Tolulope Fadina, Ariel Neufeld und Thorsten Schmidt entwickelte Finanzmodell nichtlinearer affiner Prozesse auf pfadabhängige Optionen verallgemeinert. Dieses Modell berücksichtigt insbesondere auch Modellunsichereit - die Problematik, dass man bei der Anwendung eines mathematischen Modells im Allgemeinen nicht mit Sicherheit wissen kann, wie die Modellparameter konkret zu wählen sind.

Im gerade genannten zweiten Themenbereich zeigt sich, dass die Optionspreise durch die Lösungen von pfadabhängigen, nichtlinearen Differentialgleichungen gegeben sind. Da die direkte Lösung hiervon nicht immer möglich ist, wird ein neuer Algorithmus entwickelt, der allgemeine funktionale Differentialgleichungen lösen kann und Techniken des maschinellen Lernens verwendet.

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Theresa Klumpp

[Bild Theresa Klumpp]

Frau Theresa Klumpp erhält den Alumni-Preis 2020 für ihre Masterarbeit:
„Neural Word Embeddings as Matrix Factorization“

Das Problem stetige Wortvektoren zu finden ist in der Computerlinguistik zentral und gut erforscht. Ziel ist es, jedem Wort eines Vokabulars einen Vektor zuzuordnen, sodass (semantisch und syntaktisch) ähnliche Wörter von ähnlichen Vektoren repräsentiert werden. Diese können beispielsweise als Input für neuronale Netze verwendet werden.

In der Masterarbeit werden zwei bekannte neuronale Netze betrachtet, die niedrigdimensionale Wortvektoren liefern: Skip-Gram und Skip-Gram mit Negative-Sampling (SGNS). Ausgehend von der Annahme, dass die Dimension dieser Wortvektoren groß ist (mindestens so groß wie die Größe des Vokabulars), kanngezeigt werden, dass ein anderes Verfahren, nämlich das Faktorisieren einer Wort-Kontext-Matrix mithilfe von Singulärwertzerlegung, auch die Zielfunktion des neuronalen Netzes maximiert. Obwohl diese Verknüpfung für niedrigdimensionale Einbettungen nicht gemacht werden kann, liefert die Singulärwertzerlegung in diesem Fall dennoch gute Ergebnisse und in manchen Linguistik-Aufgabenstellungen funktioniert sie sogar besser als das neuronale Netz, von dem sie abstammt. Dieser Zusammenhang zwischen dem neuronalen SGNS-Netz und der Matrixzerlegung wurde 2014 von Omer Levy und Yoav Goldberg dargelegt.

Anschließend wird die Kosinus-Ähnlichkeit untersucht, die üblicherweise verwendet wird, um die Ähnlichkeit zwischen Wortvektoren zu messen. Teil der Arbeit war es, eine Formel herzuleiten, die ein heuristisches Verständnis dafür gibt, was ‘nah’ bezüglich der Kosinus-Ähnlichkeit in einem d-dimensionalen Raum überhaupt ist. Die verschiedenen Verfahren zur Findung von niedrigdimensionalen Wortvektoren werden verglichen und anhand von Aufgabenstellungen zu Wortähnlichkeit und semantischen und syntaktischen Analogien ausgewertet.

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Dario Kieffer

[Bild Dario Kieffer]

Herr Dario Kieffer erhält den Alumni-Preis 2020 für seine Masterarbeit:
„Approximate MLE on manifolds“

Sowohl Shape Analysis, mit Anwendungen in Medizin, Computational Anatomy oder Computer Vision, als auch die Verwendung differentialgeometrischer Konzepte zum Kalibrieren von Finanzmodellen basieren auf Begriffen und Resultaten aus der euklidischen Statistik, verallgemeinert auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Die beim Verallgemeinern dieser Begriffe auftretenden Schwierigkeiten offenbaren sich bereits bei dem vermeintlich einfachen Versuch das arithmetische Mittel auf Mannigfaltigkeiten zu übertragen. Betrachtet man nämlich beispielhaft die zweidimensionale Sphäre zusammen mit der Addition aus dem umgebenden dreidimensionalen Raum, so sieht man direkt durch das Addieren zweier gegenüberliegender Punkte, dass das Ergebnis des arithmetischen Mittels im Allgemeinen nicht wieder auf der Sphäre liegen muss. Gerade im Fall von Mittelwerten von ortsabhängigen Daten auf der Erdoberfläche zeigt sich so die Unbrauchbarkeit dieser Verallgemeinerung des arithmetischen Mittels. Nichtsdestotrotz lassen sich unter Verwendung geeigneter Charakteristiken Erwartungswert und Varianz auch auf Mannigfaltigkeiten definieren, üblicherweise bezeichnet als Fréchet-Mittel und Fréchet-Varianz. Aufgrund der geometrischen Eigenheiten von Mannigfaltigkeiten sind Berechnungen, bzw. Schätzungen von Erwartungswert und Varianz basierend auf diesen Definitionen jedoch äußerst rechenintensiv.

Angelehnt an ein approximatives Maximum-Likelihood Schätzverfahren wurde in dieser Arbeit eine neue Methode zum Schätzen von Mittelwert und Varianz einer Normalverteilung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten eingeführt. Das Verfahren macht sich zu Nutze, dass sich die Dichte einer Normalverteilung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten durch Übergangsfunktionen Riemannscher Brownscher Bewegungen definieren lässt. Mittelwert und Varianz sind hierbei allerdings nicht mehr durch das Fréchet-Mittel, bzw. die Fréchet-Varianz gegeben, sondern werden implizit durch die Verteilung definiert. Der Zusammenhang zwischen Wärmeleitungskern und Übergangsfunktion einer Brownschen Bewegung liefert unter Verwendung der asymptotischen Entwicklung des Wärmeleitungskerns dann eine Approximation der Dichte einer auf diese Weise definierten Normalverteilung.

Der Schätzer für den Erwartungswert und die Varianz der Normalverteilung wurde angelehnt an die Definition eines Maximum-Likelihood Schätzers mit Hilfe der approximierten Dichten der Normalverteilung definiert. Unter geeigneten Konvergenzannahmen an das auf den Tangentialraum zurückgezogene Stichprobenmittel und an die Stichprobenvarianz, sowie der Einschränkung, dass der Parameterraum kompakt ist, wurde die stochastische Konvergenz dieses Schätzers gegen den wahren Parameter gezeigt. Für den Beweis der Aussage wurde die Theorie über M-Schätzer verwendet, sowie eine neue Modifikation des Glivenko-Cantelli Theorems eingeführt, bei der Funktionenklassen durch einen zusätzlichen Parameter indiziert sind.

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Sandrine Gümbel

Frau Sadrine Gümbel erhält den Lindemann-Preis 2020 für ihre Dissertation:
„Dynamic term structure modeling beyond the paradigm of absolute continuity“

[Bild Sandrine Gümbel]

Zinssätze von verschiedenen Anlageformen hängen unter anderem von Faktoren wie der Laufzeit oder dem zugehörigen Risiko der Anlage ab. Die Zinsstruktur betrachtet die Abhängigkeit des Zinssatzes von der Bindungsdauer einer Anlage und ist somit eine Funktion von der Laufzeit der Anlage auf dem Finanzmarkt. In meiner Arbeit betrachte ich die Modellierung von Zinsstrukturkurven in Zinsmärkten und in Märkten mit Kreditrisiko.

Wirft man einen Blick in die Daten erkennt man zwei wichtige Merkmale von Zinsmärkten. Zum einen ist spätestens seit der Finanzkrise das Kreditrisiko im Interbankenhandel nicht vernachlässigbar und zum anderen erkennt man regelmäßig auftauchende Sprünge in den zugrundeliegenden Zinssätzen. Zur Modellierung der ersten Eigenschaft ist bereits viel Forschungsaufwand betrieben worden und dies wird durch multiple Zinstrukturkurven modelliert.

Die Modellierung der zweiten Eigenschaft ist weniger erforscht. Wir stellen uns dieser Herausforderung und unterteilen die Sprünge in: Sprünge die auf dem Finanzmarkt als Überraschung auftreten, Sprünge die an vorher bekannten Zeitpunkten mit bekanntem Ausgang auftreten und Sprünge die an vorher bekannten Zeitpunkten auftreten bei denen man allerdings nicht weiss wie hoch sie springen. Letztere Sprünge, sogenannte stochastische Diskontinuitäten, treten zum Beispiel in Zusammenhang mit den Treffen der Europäischen Zentralbank zur Geldpolitik auf. Die Folge der oben beschriebenen Eigenschaften ist, dass klassische no-arbitrage Bedingungen nicht mehr gelten. Diese Bedingungen sollen sicher stellen, dass risikoloser Gewinn beim Handeln nicht möglich ist. Wir modellieren dafür ein erweitertes Heath-Jarrow-Morton Modell mit Semimartingalen als treibende Prozesse und leiten somit in einem sehr allgemeinem mehrkurvigem Zinsstrukturmodell Bedingungen zur Gewährleistung der Arbitragefreiheit her.

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Thomas Körber

Herr Thomas Körber erhält den Lindemann-Preis 2020 für seine Dissertation:
„Three problems in geometric analysis related to the study of quasi-local mass“

[Bild Thomas Körber]

Quasilokale Massen spielen in der Allgemeinen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle und ihre Eigenschaften stehen im engen Bezug zur großflächigen Struktur und lokalen Geometrie des umgebenden Raumes. In dieser Arbeit betrachten wir drei verwandte geometrische Probleme und untersuchen dabei, wie sich die Existenz eines umgebenden Randes und dessen Geometrie auf das Verhalten einer quasilokalen Masse auswirkt.

In den letzten 40 Jahren konnten die Methoden der geometrischen Analysis mehrfach erfolgreich eingesetzt werden, um Fragestellungen in der mathematischen Allgemeinen Relativitätstheorie zu beantworten. Allerdings bleiben weiterhin viele grundlegende Probleme ungelöst, insbesondere bezüglich umgebender Räume mit Rand. Dies lässt sich zum Teil darauf zurückführen, dass gewisse Techniken aus den partiellen Differentialgleichungen nur bedingt auf berandete Räume übertragbar sind.

In der Arbeit wurden zunächst zwei fundamentale Ergebnisse reproduzieren, welche für Räume ohne umgebenden Rand bereits bekannt waren: die Riemannsche Penrose-Ungleichung sowie die Wohldefiniertheit der sogenannten Brown-York Masse für spezielle Flächen mit Rand. Um die Penrose-Ungleichung zu beweisen, entwickeln wir ein neues Approximationsverfahren für den sogenannten inversen mittleren Krümmungsfluss mit freiem Rand und können dabei zeigen, dass sich eine gewisse quasilokale Masse monoton entlang dieses Flusses entwickelt. Um die Brown-York Masse für Flächen mit Rand zu definieren, zeigen wir dagegen, dass diese Flächen auf eine spezielle Art und Weise in den euklidischen Raum eingebettet werden können. Schließlich untersuchen wir die sogenannte Hawkingmasse in unberandeten Räumen und können unter gewissen Annahmen die Flächen, welche eine maximale Menge an Masse umschließen, charakterisieren. Hierzu beweisen wir ein geometrisches Stabilitätsresultat für den sogenannten flächeninhaltserhaltenden Willmorefluss.

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Prof. Dr. Katrin Wendland

Den Lehrpreis für die beste Vorlesung im Sommersemester 2020 erhält Professor Kathrin Wendland für die Vorlesung „Funktionentheorie“. Besonders gelobt wurden ihre sorgfältig vorbereiteten Vorlesungsvideos mit "sehr ausführlichen, genauen und verständlichen Erklärungen", in denen sie unter anderem mithilfe eines Gongs vor einfacheren Beweisschritten die Studierenden zum aktiven Mitdenken ermutigte. Durch ihr Engagement in den wöchentlichen Fragestunden wurde trotz der Online-Situation die Interaktion mit den Studierenden ermöglicht.

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Dr. Andreas Demleitner

Für sein "außerordentliches Engagement" und seine hervorragende Organisation der Vorlesung Lineare Algebra II erhält Doktor Andreas Demleitner den Lehrpreis der Fachschaft für die beste Assistenz im Sommersemester 2020. In den Vorschlägen besonders gelobt wurde auch seine Bereitschaft, Fragen seitens der Studierenden mit freundlichen und gut verständlichen Erklärungen zu beantworten.

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JProf. Dr. Nadine Große

Im Wintersemester 2019/20 zeichnet die Fachschaft Juniorprofessor Nadine Große für die Vorlesung Differentialgeometrie mit der Lehrpreis für die beste Vorlesung aus. Sie überzeugte mit ihrem sympathischem Vorlesungsstil, einem guten Skript und dem durchdachten Aufbau der Vorlesung. In den Vorschlägen wurde außerdem lobend erwähnt, dass sie neuere Erkenntnisse in ihre Vorlesung einband.

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Johannes Brutsche

Den Lehrpreis für die beste Assistenz im Wintersemester 2019/20 erhält Johannes Brutsche für seine Assistenz der Analysis III. Den Studierenden gefiel seine gute Erreichbarkeit und seine Hilfsbereitschaft bei Problemen. Außerdem gelobt wurden die „sehr gute[n] Übungsblätter“.

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2019

Alumni-Preis

Lehrpreis der Fachschaft Mathematik

Alex Kaltenbach

[Bild Alex Kaltenbach]

Herr Alex Kaltenbach erhält den Alumni-Preis 2019 für seine Masterarbeit:
„Verallgemeinerte nichtlineare Evolutionsgleichungen“

Die Theorie pseudomonotoner Operatoren ist ein zuverlässiges Werkzeug zum Nachweis der Lösbarkeit eines nichtlinearen Problems. Im Zentrum steht der Hauptsatz über pseudomonotone Operatoren, zurückgehend auf H. Brezis, nach dem jeder pseudomonotone, beschränkte und koerzive Operator, der einen reflexiven Banachraum in seinen Dualraum abbildet, surjektiv sein muss.

Insbesondere wies J.-L. Lions am Beispiel der instationären p-Navier-Stokes-Gleichung nach, dass die Methoden der Theorie pseudomonotoner Operatoren auch auf zeitabhängige Probleme, sogenannte Evolutionsprobleme, adaptiert werden können. Jedoch waren dabei technische Zusatzvoraussetzungen notwendig, um den bekannten Kompaktheitssatz von Aubin-Lions anwenden zu können. Mit sehr wenigen Voraussetzungen kommt dagegen die Anwendung des Hauptsatzes über pseudomonotone Perturbationen maximal monotoner Operatoren, zurückgehend auf F. E. Browder, aus. Der daraus resultierende instationäre Existenzsatz ist allerdings nur auf wenige Probleme anwendbar.

So gelang es bis dato nicht, ein zufriedenstellendes Analogon des Hauptsatzes über pseudomonotone Operatoren für Evolutionsprobleme zu beweisen. Die Ursache lag vor allem im verwendeten Stetigkeitsbegriff. Tatsächlich stellte sich Pseudomonotonie als ein für Evolutionsprobleme ungeeigneten Stetigkeitsbegriff heraus, da dieser die zusätzlichen Informationen der Zeitableitung, die im stationären Fall gerade nicht zur Verfügung stehen, außer Acht lässt.

Die Arbeit bezieht diese zusätzlichen Informationen mit ein und führt zu diesem Zweck eine geeignete Verallgemeinerung des üblichen Pseudomonotoniebegriffs ein, die sogenannte Bochner-Pseudomonotonie. Indem man Beweismethoden von R. Landes und N. Hirano verbindet, gelingt es das gewünschte instationäre Analogon des Hauptsatzes über pseudomonotone Operatoren zu beweisen. Dabei kommt man ohne technische Zusatzvoraussetzungen oder den Satz von Aubin-Lions aus. Insbesondere ist der bewiesene Existenzsatz sehr allgemein formuliert und damit auf einer Vielzahl instationärer Probleme anwendbar.

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Jakob Stiefel

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Herr Jakob Stiefel erhält den Alumni-Preis 2019 für seine Masterarbeit:
„The Hungry random Walker“

Irrfahrten sind grundliegende Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie und finden Anwendungen auf zahlreichen wissenschaftlichen Gebieten. Es existiert umfassende Literatur zu mathematischen Resultaten über einfache (unbiased) Irrfahrten auf Gittern wie beispielsweise den d-dimensionalen ganzen Zahlen. Hierbei werden Standardtechniken der Wahrscheinlichkeitstheorie genutzt, z.B. Martingal- und Ergodentheorie, Approximation durch Brownsche Bewegung oder Kombinatorik.

Für einige Anwendungen ist es notweidig die Annahme einer einfachen Irrfahrt fallen zu lassen. Möchte man beispielsweise die Bewegung eines hungrigen Individuums modellieren, sollte auf dem Gitter Nahrung vorhanden sein und sich das Indivuduum mit höherer Wahrscheinlichkeit zu neuer Nahrung bewegen. Dies führt zu einer komplexeren Gitterstruktur und zu nicht-markovschen Übergangswahrscheinlichkeiten, da das Nahrungsvorkommen auf dem Gitter von der bisherigen Route des Individuums beeinflusst wird.

In Modellen dieser Art erweisen sich viele der oben genannten Standardmethoden als unbrauchbar. In großen Dimensionen ergeben sich Approximationsresultate gegen eine Brownsche Bewegung. In kleinen Dimensionen, insbesondere Dimensionen Zwei und Drei, erweist sich die Struktur des Gitters als kompliziert, Resultate basieren oft auf Simulationen.

Die Arbeit konzentriert sich daher auf den eindimensionalen Fall und analysiert die asymptotische mittlere Größe des Gebiets (Range), das von einem hungrigen Individuum nach langer Zeit besucht wird, in einem Modell, das auch als Once-reinforced Random Walk bekannt ist. In diesem Modell wird die Größe des „Hungers“ durch einen vorgegebenen Parameter gesteuert. Mit Hilfe Tauber‘scher Theorie wird nachgewiesen, dass sich auf den eindimensionalen ganzen Zahlen die ersten beiden Momemte der Gebietsgröße asymptotisch qualitativ wie eine einfache Irrfahrt verhalten, wobei der Hunger-Parameter über eine Konstante Einfluss nimmt, die explizit berechnet werden kann. Die Methode lässt sich nicht auf Dimension Zwei verallgemenern, es ergeben sich lediglich Apprixomationsresultate in einem leicht angepassten Modell.

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Prof. Dr. Sebastian Goette

Stets gut vorbereitet und didaktisch durchdacht, so hielt Professor Sebastian Goette die Vorlesung Funktionentheorie. Dafür erhält er den Lehrpreis der Fachschaft für die beste Vorlesung im Sommersemester 2019. Neben dem Aufbau der Vorlesung gefiel den Studierenden, die Professor Goette für den Preis vorschlugen außerdem sein kommunikativer Stil, der zur aktiven Teilnahme ermutigte.

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Dr. Daniel Palacín

Doktor Daniel Palacín hat im Sommersemester 2019 die Vorlesung Finite Simple Groups gehalten und gleichzeitig die Übungen organisiert. Die Fachschaft möchte ihn besonders für seine sehr guten Übungsblätter auszeichnen sowie für seine Gestaltung der Übungen, die stets eine optimale Verzahnung zwischen Vorlesung und Übungsbetrieb ermöglichten. Daher erhält er den Lehrpreis in der Kategorie beste Assistenz.

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Prof. Dr. Michael Růžička

Professor Michael Růžička schaffte es im Rahmen der Vorlesung Analysis III auch komplexe Inhalte verständlich zu erklären. Außerdem stellte er ein sehr gutes Skript zur Verfügung. Dadurch kam die eigentlich oftmals als schwer wahrgenommene Vorlesung bei den Studierenden gut an. Die Fachschaft zeichnet Professor Růžička daher mit dem Lehrpreis für die beste Vorlesung im Wintersemester 2018/2019 aus.

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Dr. Santosh Kandel

In der Kategorie beste Assistenz im Wintersemester 2018/2019 erhält Doktor Santosh Kandel den Lehrpreis für sein Engagement während des Seminars Lattices and Codes. Er war stets bereit, sich um Fragen um Anliegen der Studierenden zu kümmern. Mit seinem Einsatz konnte er seine Motivation für den Stoff auf die Teilnehmer*innen übertragen.

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2018

Alumni-Preis

Ferdinand-von-Lindemann-Preis

Lehrpreis der Fachschaft Mathematik

Vera Christina Gahlen

Frau Vera Christina Gahlen erhält den Alumni-Preis 2018 für ihre Masterarbeit:
„Neeman-Forcing“

Die Forcing-Technik ist eine Beweismethode in der Mengenlehre, mithilfe derer relative Konsistenzbeweise geführt werden. Sie wurde 1963 von Paul Cohen entwickelt und verwendet, um die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese vom Axiomensystem ZFC zu beweisen.

Gegenstand der Abschlussarbeit ist die Ausarbeitung eines Beweises Itay Neemans der Konsistenz des Proper Forcing Axioms relativ zur Existenz einer superkompakten Kardinalzahl.

Die Idee für Beweise dieses Satzes ist die Iteration properer Forcing-Halbordnungen mithilfe einer Laver Funktion, welche eine repräsentative Menge solcher Halbordnungen bereitstellt. Im Unterschied zum ursprünglichen Beweis verwendet Neeman eine Iteration mit endlichem statt abzählbarem Träger. Der Vorteil einer Iteration mit endlichem Träger ist die mögliche Anpassung der konstruierten Forcing-Halbordnung für andere Forcing Axiome. Allerdings muss auf andere Weise sichergestellt werden, dass die Iteration proper ist, da diese Eigenschaft im Allgemeinen von Iterationen mit endlichen Trägern nicht erhalten wird. Zu diesem Zweck verwendet Neeman seine Halbordnung der Folgen von Modellen zweier Arten als Nebenbedingungen in der Iteration.

Die Arbeit folgt den Ausführungen Neemans im Rahmen seines Artikels Forcing with sequences of models of two types. Dazu werden zunächst die zugrundeliegenden Konzepte sowie Neemans Modell-Folgen-Halbordnung eingeführt. Der größte Aufwand richtet sich im Folgenden darauf die Wirkung dieser Nebenbedingungen detailliert nachzuvollziehen, um zu zeigen, dass die Iteration tatsächlich für gewisse Modelle proper ist. Das letzte Kapitel widmet sich der Ausarbeitung der Beweisskizze Neemans zum zentralen Satz der Arbeit.

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Nils Sturma

[Bild Nils Sturma]

Herr Nils Sturma erhält den Alumni-Preis 2018 für seine Bachelorarbeit:
„Formale Gruppengesetze“

Formale Gruppengesetze werden in verschiedenen Bereichen der Mathematik, wie zum Beispiel in der Zahlentheorie, algebraischen Topologie und Lie-Theorie benutzt. Man könnte sich sehr lange mit ihnen beschäftigen, daher werden im Rahmen der Bachelorarbeit nur einzelne Aspekte betrachtet. Kurz gesagt ist ein eindimensionales formales Gruppengesetz F eine formale Potenzreihe in zwei Variablen der Form F(X, Y) = X + Y + (Terme mit Grad > 1), die sich assoziativ verhält: F(F(X, Y ),Z) = F(X, F(Y,Z)). Um Eigenschaften und Sätze über formale Gruppengesetze zu zeigen, bietet es sich häufig an, eine vollständige Induktion über den Grad der vorliegenden Potenzreihen zu führen.

Der Fokus der Arbeit liegt auf eindimensionalen formalen Gruppengesetzen. Zunächst werden eindimensionale formale Gruppengesetze über einem Körper der Charakteristik null untersucht. Es lässt sich recht einfach feststellen, dass diese alle isomorph sind. Ein wesentlicher Teil der Arbeit beschäftigt sich im Anschluss mit der Klassifikation von eindimensionalen kommutativen formalen Gruppengesetzen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper mit positiver Charakteristik. Dazu wird eine Invariante, die Höhe eines formalen Gruppengesetzes, eingeführt und anschließend gezeigt, dass alle formalen Gruppengesetze der gleichen Höhe isomorph sind.

Im zweiten Teil der Arbeit werden interessante Beispiele formaler Gruppengesetze betrachtet. Diese stammen von Gruppenstrukturen auf Mannigfaltigkeiten und algebraischen Varietäten. In einer Umgebung des neutralen Elements einer Lie-Gruppe kann man Koordinaten wählen und die Multiplikationsabbildung durch eine Taylorreihenentwicklung ausdrücken. Dies wird in der Arbeit konkret durchgeführt. Anschließend wird bewiesen, dass die entstandene formale Taylorreihe auch tatsächlich ein formales Gruppengesetz ist. Somit lässt sich aus jeder Lie-Gruppe ein formales Gruppengesetz konstruieren. Für affine algebraische Gruppen funktioniert dies in ganz ähnlicher Art und Weise. Auch hier kann man am neutralen Element eine Taylorreihenentwicklung durchführen und erhält ein formales Gruppengesetz.

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Patrick Schön

Herr Patrick Schön erhält den Lindemann-Preis 2018 für seine Dissertation:
„Scalable Adaptive Bisection Algorithms on Decomposed Simplicial Partitions for Efficient Discretizations of Nonlinear Partial Differential Equations“

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JProf. Dr. Philipp Harms

Der Lehrpeis für die beste Vorlesung im Sommersemester 2018 geht an Juniorprofessor Phillipp Harms. Seine Vorlesung Stochastische Integration und Finanzmathematik präsentierte er nicht anhand eines Lehrbuchs, sondern bezog immer wieder aktuelle Forschungsergebnisse ein. Diese bereitete er auf, um sie den Studierenden verständlich zu machen und suchte darüber hinaus nach Vereinfachungen für Beweise und Verknüpfungen zwischen Ergebnissen. Dadurch schaffte er es, die Teilnehmer*innen zu motivieren und zu begeistern.

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Dr. Johan Commelin

Doktor Johan Commelin betreute im Proseminar Quadratic Forms die Studierenden mit "besonderer Wertschätzung, Geduld und fachlichem Know How" (Zitat aus einem Vorschlag). Er nahm sich für jede*n Teilnehmer*in mehrere Stunden Zeit und half beim Erarbeiten von Fragen und Problemen. Für dieses Engagement verleiht ihm die Fachschaft den Lehrpreis für die beste Assistenz im Sommersemester 2018.

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Prof. Dr. Amador Martín Pizarro

Professor Amador Martín Pizarro erhält den Lehrpreis im Wintersemester 2017/2018 für seinen motivierten und durchdachten Aufbau der Vorlesung Modelltheorie und seine Interaktion mit den Studierenden. Er schaffte es, durch aktives Einfordern von Ideen, Beweise mit den Studierenden zusammen zu erarbeiten und mit seinen bildlichen Darstellungen seine Begeisterung für das Fach weiter zugeben.

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Thomas Körber

Studierende, die Thomas Körber für den Lehrpreis für die beste Assistenz im Wintersemester 2017/2018 vorschlugen, lobten seine Fachkompetenz und seine sauberen Musterlösungen zur Vorlesung Analysis III. Außerdem wird er für seine gute Zusammenarbeit mit den Tutoren und seine Erreichbarkeit für Studierende ausgezeichnet.

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2017

Alumni-Preis

Ferdinand-von-Lindemann-Preis

Thomas Körber

[Bild Thomas Körber]

Herr Thomas Körber erhält den Alumni-Preis 2017 für seine Masterarbeit:
„Sharp estimates for the principal eigenvalue of p-operators“

Optimale Abschätzungen für die Eigenwerte eines Differentialoperators spielen in verschiedenen Gebieten eine wichtige Rolle: Sie implizieren scharfe untere Schranken für die Konvergenzgeschwindigkeit numerischer Verfahren, liefern optimale Konstanten für gewisse Ungleichungen und beschreiben die minimale Anregungsenergie von physikalischen Systemen. Für den Laplace-Operator auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit bewiesen 1984 Zhong und Yang eine optimale untere Schranke für den kleinsten Eigenwert, welche nur von dem Diameter, der Dimension, und der Ricci-Krümmung der Mannigfaltigkeit abhängt. Im Jahre 2012 konnte Valtorta ein entsprechendes Resultat für den nichtlinearen p-Laplace-Operator beweisen. Mithilfe der Bochner-Formel kann man zeigen, dass der Laplace-Operator alle Informationen über den Diameter, die Dimension und die Ricci-Krümmung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit enthält. Die bisherigen Resultate legen deshalb nahe, dass dementsprechende Eigenwertabschätzungen auch für allgemeinere Differentialoperatoren zweiter Ordnung gelten sollten, vorausgesetzt diese erfüllen gewisse intrinsische Bedingungen. Tatsächlich kann man für lineare Differentialoperatoren zweiter Ordnung die drei obigen Größen auf intrinsische Weise definieren. Dabei ist allerdings zu beachten, dass die induzierten Größen nicht den geometrischen Größen der Mannigfaltigkeit entsprechen. Bakry und Qian konnten im Jahre 2000 eine entsprechende Abschätzung für elliptische Operatoren beweisen.

In dieser Arbeit wird der sogenannte nicht-lineare p-Operator eingeführt, welcher eine Verallgemeinerung des p-Laplace für lineare, elliptische Differentialoperatoren zweiter Ordnung darstellt. Zudem wird eine optimale Abschätzung für den ersten Eigenwert bewiesen, die nur vom Diameter abhängt und eine endliche Dimension sowieso nicht-negative Ricci-Krümmung voraussetzt. Dies erfolgt durch zwei Vergleichssätze, die den Gradienten sowie das Maximum der Eigenfunktion mit einem eindimensionalen Modellraum vergleichen. Die Hauptzutaten sind hierbei eine sogenannte p-Bochner-Formel für den p-Operator, sowie die Tatsache, dass die Curvature-Dimension-Ungleichung automatisch eine verbesserte Version impliziert. Der Fall der Gleichheit wird mithilfe eines Maximumprinzips bearbeitet und dabei stellt sich heraus, dass Gleichheit genau dann eintritt, wenn der Operator der eindimensionale p-Laplace-Operator ist.

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Felicitas Schmitz

[Bild Felicitas Schmitz]

Frau Felicitas Schmitz erhält den Alumni-Preis 2017 für ihre Masterarbeit:
„Deterministic games as a basis for numerical methods to approximate parabolic equations“

Parabolische Differentialgleichungen werden als Modell für viele zeitabhängige physikalische Vorgänge verwendet. Das bekannteste Beispiel ist die sogenannte Wärmeleitungsgleichung, die beschreibt, wie sich die Temperaturverteilung in einem Körper entwickelt. Oft können Differentialgleichungen nicht exakt gelöst werden. In diesem Fall verwendet man numerische Verfahren, um die Lösung der Gleichung zu approximieren. Die Entwicklung solcher Verfahren ist, vor allem für nichtlineare Gleichungen, ein aktuelles Forschungsgebiet.

Über eine Interpretation der Gleichung als deterministisches Spiel konstruierten Robert Kohn und Sylvia Serfaty im Jahre 2010 ein semidiskretes Verfahren zur Approximation von parabolischen Differentialgleichungen. Dieses Verfahren ist insbesondere deshalb interessant, weil es sich nicht auf einen einzelnen Typ von Gleichung beschränkt, sondern auf eine große Klasse von parabolischen Gleichungen anwendbar ist; speziell können mit dem Verfahren auch nichtlineare Gleichungen approximiert werden.

In der Arbeit wird untersucht, ob und wie dieses semidiskrete Verfahren vollständig diskretisiert werden kann. Für nicht näher bestimmte Gleichungen ist eine Ortsdiskretisierung im Sinne eines „Wide Stencil“-Verfahrens angemessen. Das auf diese Weise volldiskretisierte Verfahren konvergiert gegen die Viskositätslösung der zugehörigen Differentialgleichung, was unter Verwendung des Barles-Souganidis-Rahmens gezeigt wird.

Die Implementierung des Verfahrens gestaltet sich jedoch schwierig, da eine große, mit der Anzahl der Gitterpunkte skalierende Menge an Sattelpunktproblemen zu lösen ist. Aufgrund der Ortsdiskretisierung findet die innere Optimierung im Gegensatz zur äußeren nur über einer endlichen Menge statt. Deshalb wären die Sattelpunkte analytisch und effizient berechenbar, wenn die Maximierung und die Minimierung vertauscht werden dürften. Dies ist aber nicht der Fall: Rigoros wird nachgewiesen, dass das Verfahren mit vertauschten Optimierungen nur einen Shift der Anfangswerte bewirkt und somit ganz gewiss nicht gegen die gesuchte Lösung konvergiert. Die Approximierung von Sattelpunktproblemen ist hingegen (mit den bisher bekannten Methoden) sehr aufwändig. Insgesamt wird deshalb die Konstruktion eines effizienten numerischen Algorithmus' auf Grundlage von Kohns und Serfatys Idee als unwahrscheinlich angesehen.

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Tim Patschkowski

Herr Tim Patschkowski erhält den Lindemann-Preis 2017 für seine Dissertation:
„New Approaches to Locally Adaptive Nonparametric Estimation and Inference“

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bis 2016

Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2016

Alumni-Preis 2016 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2015 Alumni-Preis 2015 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2014 Alumni-Preis 2014 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2013 Alumni-Preis 2013 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2012 Alumni-Preis 2012 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2011 Alumni-Preis 2011 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2010 Alumni-Preis 2010 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2009 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2008 Pfizer-Forschungspreis 2008 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2007 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2006 Pfizer-Forschungspreis 2006 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2005 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2004 Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2003
  • Isolde Adler, Mathematische Logik,
    Spiele als Hilfsmittel zu Strukturuntersuchungen bei Graphen und Hypergraphen.
Pfizer-Forschungspreis 2003
  • Dr. Matthias Wesenberg, Angewandte Mathematik,
    Efficient finite-volume schemes for magnetohydrodynamic simulations in solar physics.