Alumni-Preis 2021

Klara Burger

[Bild Klara Burger]

Frau Klara Burger erhält den Alumni-Preis 2021 für ihre Masterarbeit:
"Estimators of Mutation Rate in Population Genetics"

Die genetische Variation einer Spezies wird sowohl von epigenetischen als auch von Faktoren, welche auf die Gene selbst wirken, beeinflusst. Bei letzteren nehmen beispielsweise Faktoren wie Mutationen, Rekombinationen, Neutrale Selektion oder Populationsstrukturen eine zen- trale Rolle ein. Diese Faktoren und deren Einfluss auf die genetische Variation zu untersuchen ist das Ziel der Populationsgenetik. Dabei erhalten Vererbungsprozesse, welche die Evolution genetischen Materials über die Zeit beschreiben, besondere Aufmerksamkeit. Die mathema- tische Populationsgenetik liefert den Rahmen, in welchem solche Faktoren analysiert werden können. Hierbei ist das Schätzen der skalierten Mutationsrate θ eine klassische Aufgabe, da der Parameter mit der genetischen Diversität einer Population korreliert.

Künstliche Neuronale Netze sind in vielen wissenschaftlichen Bereichen weitverbreitet und werden oft in Situationen begrenzten theoretischen Einblickes verwendet. Zudem werden üblicherweise komplexe Netzwerkarchitekturen gewählt, was das Verständnis des zugrunde liegenden Lernprozesses häufig erschwert. Aus diesem Grund werden in dieser Arbeit zwei schlichte Neuronale Netze als Schätzer der skalierten Mutationsrate vorgestellt, insbesondere ein Dense Feedforward Neural Network mit keinem beziehungsweise einem Hidden Layer. Zudem wird sich zunutze gemacht, dass das Schätzen von θ theoretisch sehr gut verstanden ist, weshalb in der Arbeit auch zunächst modellbasierte Schätzer betrachtet werden. Einer der bekanntesten ist hierbei der Watterson-Schätzer, ein einfach zu berechnender, erwar- tungstreuer und asymptotisch konsistenter Schätzer, welcher aber auch eine hohe Varianz aufweisen kann. Daher werden auch mehrere modellbasierte Schätzer betrachtet, welche Ei- genschaften des Watterson-Schätzers für verschiedene Rekombinationsszenarien verbessern, insbesondere lineare Schätzer (linear im Site Frequency Spectrum) mit einer kleineren Vari- anz oder mittleren quadratischen Abweichung.

Abschließend werden modellbasierte Schätzer und modellfreie Schätzer, hier die Neurona- len Netze, verglichen und mithilfe von Simulationen evaluiert. Dabei kann man beobachten, dass in Szenarien, in welchen die modellbasierten Schätzer optimal sind (im Sinne minimaler Varianz bzw. mittlerer quadratischer Abweichung) die Neuronalen Netze annähernd gleich- wertige Schätzer darstellen. Darüber hinaus übertreffen die Neuronalen Netze die modell- basierten Schätzer in theoretisch anspruchsvollen Szenarien. Daher stellen Neuronale Netze eine attraktive Alternative zu modellbasierten Schätzern der skalierten Mutationsrate dar, insbesondere da sie unabhängig von der Rekombinationsrate uniform gut abschneiden.i

Vivien Vogelmann

[Bild Vivien Vogelmann]

Frau Vivien Vogelmann erhält den Alumni-Preis für ihre Masterarbeit:
"The Triply Graded Link Homology – A New Approach"

Grob gesagt handelt es sich bei einer Knoteninvariante um eine Abbildung, die einem Knoten ein Objekt zuweist und äquivalente Knoten auf dasselbe abbildet. Im 20. Jahrhundert wurden eine Vielzahl polynomieller Knoteninvarianten entdeckt, wie zum Beispiel das berühmte Jones-Polynom oder später das HOMFLY-Polynom. Um 1990 entwickelte M. Khovanov eine Homologietheorie, welche sich als Kategorifizierung des Jones-Polynoms herausstellte, in dem Sinne, dass die graduierte Eulercharakteristik das Jones-Polynom liefert. Später konstruierten Khovanov und Rozansky dann eine weitere Link-Homologietheorie, versehen mit einer Dreifachgraduierung, welche das HOMFLY-Polynom kategorifiziert. In einer weiterführenden Arbeit definiert Khovanov schließlich eine dreifach graduierte Link-Homologietheorie, indem er zu jedem Zopf den zugehörigen Rouquier-Komplex betrachtet und darauf die Hochschild-Homologie anwendet. Er zeigt, dass diese Konstruktion isomorph zur Khovanov-Rozansky Homologie ist und damit selbst eine Linkinvariante liefert.


Die Motivation der Arbeit ist es, einen direkten, von der Khovanov-Rozansky Homologie unabhängigen Beweis zu führen, dass diese letztere, dreifach graduierte Link-Homologietheorie eine Linkinvariante darstellt.

Zunächst wird eine Einführung in die Theorie der Spiegelungsgruppen und Coxetersysteme gegeben, welche dann für die Definition der sogenannten Soergelschen Bimoduln essentiell sind. Diese wiederrum sind die Grundbausteine der Rouquier-Komplexe. Um die 'triply graded link homology' zu definieren, ordnet man jedem Zopf einen derartigen Komplex zu und wendet darauf die Hochschild-Homologie an, welche im Prinzip der derivierte Funktor des "im Kreis tensorieren Funktors" ist. Die Kohomologie dieses Komplexes ist ein dreifach graduierter Vektorraum. Der Beweis beschäftigt sich hauptsächlich mit der Invarianz dieser Zuordung unter dem zweiten Markovmove, welcher anschaulich das Glattziehen eines Twists beschreibt. Dafür wird eine konvergierende Spektralsequenz konstruiert, die von der Grothendieck Spektralsequenz herkommt.

Lukas Hoffmann

[Bild Hoffmann]

Herr Lukas Hoffmann erhält den Alumni-Preis für seine Bachelorarbeit:
"VOA=OPA - on two almest equivalent algebraic languages for chiral conformal field theory"

In der Physik spielt Quantenfeldtheorie eine zentrale Rolle in vielfältigen Teilgebieten wie etwa der Teilchenphysik, Stringtheorie, aber auch in der statistischen Physik und Festkörperphysik. Darüber hinaus sind insbesondere zweidimensionale Euklidische konforme Quantenfeldtheorien (CFTs) relevant in verschiedenen rein mathematischen Kontexten wie Monstrous Moonshine oder Mirror Symmetry.

Diese Art der CFT nimmt unter den Quantenfeldtheorien eine Sonderrolle ein, da sie sich gut mathematisch behandeln lässt. Dieser Umstand rührt vor allem daher, dass die komplexifizierte Lie Algebra infinitesimaler konformer Transformationen in zwei kommutierende Kopien der Virasoro-Algebra zerfällt. Dies hat zur Folge, dass es zu beiden Kopien jeweils eine Substruktur gibt, die besonders gut unter Kontrolle ist. Bei diesen Substrukturen handelt es sich um die sogenannten "chrialen Anteile" der CFT. Als "chirale CFTs" bilden diese einen eigenständigen Gegenstand der Forschung. Für chirale CFTs haben sich verschiedene Formalismen herausgebildet, wobei insbesondere die von R.E. Borcherds im


Jahre 1986 (aus anderen Gründen) definierten "Vertex Operator Algebren" (VOAs) als "Standardsprache" hervorzuheben sind. VOAs sind seitdem intensiv erforscht worden und es gibt weitreichende Literatur über sie.

Ein auf den ersten Blick ähnlicher Ansatz wurde 1994 von K. Thielemans in seiner Dissertation unter dem Namen "Operator Produkt Algebra" (OPA) definiert. Jedoch haben OPAs bei weitem nicht die gleiche Verbreitung gefunden wie VOAs. Insbesondere durch Thielemans Implementierung endlich erzeugter OPAs für Mathematica hat sich dieser Formalismus trotzdem bis in die aktuelle Forschung hinein als nützlich erwiesen, wie etwa M.-A. Fisets Dissertation aus dem Jahr 2019 zeigt.

Gegenstand der Arbeit war es die Beziehung zwischen VOA und OPA vor dem Hintergrund chiraler CFT zu untersuchen.

Zunächst lassen sich sowohl VOAs als auch OPAs als Spezialfälle einer (von mir sogenannten) "prä-z-Algebra" verstehen, also als Vektorräume mit einem Laurent-Reihen-wertigen Produkt. Als direktes Korollar der Theorie der VOAs ergibt sich, dass die Axiome einer VOA auch die einer OPA implizieren.

Die umgekehrte Richtung erweist sich jedoch als anspruchsvoller: In der Abwesenheit eines sogenannten "Nulloperator-Ideals" lassen sich schrittweise einzelne Resultate über VOAs (insbesondere Goddards Eindeutigkeitstheorem) auf OPAs übertragen. Damit kann letztlich bewiesen werden, dass jede OPA (ohne Nulloperator-Ideal) auch eine VOA bildet. Das Fehlen eines Nulloperator-Ideals ist dabei eine sowohl notwendige als auch hinreichende Bedingung.

Damit ist gezeigt, dass VOA = OPA (ohne Nulloperator-Ideal) gilt. Allerdings muss betont werden, dass es relevante Beispiele von OPAs gibt, die ein solches Ideal besitzen. Um diese in Zukunft auch in der Sprache der VOAs behandeln zu können, wird eine entsprechende Verallgemeinerung von VOAs vorgeschlagen.