Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2020

Sandrine Gümbel

[Bild Sandrine Gümbel]

Zinssätze von verschiedenen Anlageformen hängen unter anderem von Faktoren wie der Laufzeit oder dem zugehörigen Risiko der Anlage ab. Die Zinsstruktur betrachtet die Abhängigkeit des Zinssatzes von der Bindungsdauer einer Anlage und ist somit eine Funktion von der Laufzeit der Anlage auf dem Finanzmarkt. In meiner Arbeit betrachte ich die Modellierung von Zinsstrukturkurven in Zinsmärkten und in Märkten mit Kreditrisiko.

Wirft man einen Blick in die Daten erkennt man zwei wichtige Merkmale von Zinsmärkten. Zum einen ist spätestens seit der Finanzkrise das Kreditrisiko im Interbankenhandel nicht vernachlässigbar und zum anderen erkennt man regelmäßig auftauchende Sprünge in den zugrundeliegenden Zinssätzen. Zur Modellierung der ersten Eigenschaft ist bereits viel Forschungsaufwand betrieben worden und dies wird durch multiple Zinstrukturkurven modelliert.

Die Modellierung der zweiten Eigenschaft ist weniger erforscht. Wir stellen uns dieser Herausforderung und unterteilen die Sprünge in: Sprünge die auf dem Finanzmarkt als Überraschung auftreten, Sprünge die an vorher bekannten Zeitpunkten mit bekanntem Ausgang auftreten und Sprünge die an vorher bekannten Zeitpunkten auftreten bei denen man allerdings nicht weiss wie hoch sie springen. Letztere Sprünge, sogenannte stochastische Diskontinuitäten, treten zum Beispiel in Zusammenhang mit den Treffen der Europäischen Zentralbank zur Geldpolitik auf. Die Folge der oben beschriebenen Eigenschaften ist, dass klassische no-arbitrage Bedingungen nicht mehr gelten. Diese Bedingungen sollen sicher stellen, dass risikoloser Gewinn beim Handeln nicht möglich ist. Wir modellieren dafür ein erweitertes Heath-Jarrow-Morton Modell mit Semimartingalen als treibende Prozesse und leiten somit in einem sehr allgemeinem mehrkurvigem Zinsstrukturmodell Bedingungen zur Gewährleistung der Arbitragefreiheit her.

Thomas Körber

[Bild Thomas Körber]

Quasilokale Massen spielen in der Allgemeinen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle und ihre Eigenschaften stehen im engen Bezug zur großflächigen Struktur und lokalen Geometrie des umgebenden Raumes. In dieser Arbeit betrachten wir drei verwandte geometrische Probleme und untersuchen dabei, wie sich die Existenz eines umgebenden Randes und dessen Geometrie auf das Verhalten einer quasilokalen Masse auswirkt.

In den letzten 40 Jahren konnten die Methoden der geometrischen Analysis mehrfach erfolgreich eingesetzt werden, um Fragestellungen in der mathematischen Allgemeinen Relativitätstheorie zu beantworten. Allerdings bleiben weiterhin viele grundlegende Probleme ungelöst, insbesondere bezüglich umgebender Räume mit Rand. Dies lässt sich zum Teil darauf zurückführen, dass gewisse Techniken aus den partiellen Differentialgleichungen nur bedingt auf berandete Räume übertragbar sind.

In der Arbeit wurden zunächst zwei fundamentale Ergebnisse reproduzieren, welche für Räume ohne umgebenden Rand bereits bekannt waren: die Riemannsche Penrose-Ungleichung sowie die Wohldefiniertheit der sogenannten Brown-York Masse für spezielle Flächen mit Rand. Um die Penrose-Ungleichung zu beweisen, entwickeln wir ein neues Approximationsverfahren für den sogenannten inversen mittleren Krümmungsfluss mit freiem Rand und können dabei zeigen, dass sich eine gewisse quasilokale Masse monoton entlang dieses Flusses entwickelt. Um die Brown-York Masse für Flächen mit Rand zu definieren, zeigen wir dagegen, dass diese Flächen auf eine spezielle Art und Weise in den euklidischen Raum eingebettet werden können. Schließlich untersuchen wir die sogenannte Hawkingmasse in unberandeten Räumen und können unter gewissen Annahmen die Flächen, welche eine maximale Menge an Masse umschließen, charakterisieren. Hierzu beweisen wir ein geometrisches Stabilitätsresultat für den sogenannten flächeninhaltserhaltenden Willmorefluss.