Alumni-Preis 2020

Benedikt Geuchen

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Herr Benedikt Geuchen erhält den Alumni-Preis 2020 für seine Masterarbeit:
"Pfadabhängige funktionale und nichtlineare affine Prozesse"

Eine wichtige Aufgabe der Finanzmathematik ist die Optionspreisberechnung, also die sinnvolle Zuordnung eines Wertes zu einer Finanzoption, basierend auf den stochastischen Eigenschaften des zugrundeliegenden Basiswerts. Bei Finanzmarktmodellen in stetiger Zeit verwendet man hierbei Techniken der stochastischen Analysis. Hierzu zählt zum Beispiel die Itō-Formel, die man als "Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung" für das stochastische Integral auffassen kann. In den Jahren 2009 und 2010 haben Bruno Dupire, Rama Cont und David-Antoine Fournié eine funktionale Version der Formel bewiesen, bei der pfadabhängige Funktionen betrachtet werden können, also solche, die vom gesamten Verlauf des zugrunde liegenden stochastischen Prozesses abhängen können.

In der Arbeit werden Anwendungen dieser funktionalen Version der Itō-Formel auf die Optionspreisberechnung betrachtet, wobei nun insbesondere pfadabhängige Optionen wie beispielsweise asiatische Optionen betrachtet werden können. Diese Anwendungen können grob in zwei Themenbereiche eingeteilt werden. Zunächst wird eine funktionale Version der sogenannten Feynman-Kac-Gleichung bewiesen. Diese erlaubt es, Optionspreise durch das Lösen einer Differentialgleichung zu berechnen. Im zweiten Themenbereich wird das von Tolulope Fadina, Ariel Neufeld und Thorsten Schmidt entwickelte Finanzmodell nichtlinearer affiner Prozesse auf pfadabhängige Optionen verallgemeinert. Dieses Modell berücksichtigt insbesondere auch Modellunsichereit - die Problematik, dass man bei der Anwendung eines mathematischen Modells im Allgemeinen nicht mit Sicherheit wissen kann, wie die Modellparameter konkret zu wählen sind.

Im gerade genannten zweiten Themenbereich zeigt sich, dass die Optionspreise durch die Lösungen von pfadabhängigen, nichtlinearen Differentialgleichungen gegeben sind. Da die direkte Lösung hiervon nicht immer möglich ist, wird ein neuer Algorithmus entwickelt, der allgemeine funktionale Differentialgleichungen lösen kann und Techniken des maschinellen Lernens verwendet.

Theresa Klumpp

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Frau Theresa Klumpp erhält den Alumni-Preis 2020 für ihre Masterarbeit:
"Neural Word Embeddings ass Matrix Factorization"

Das Problem stetige Wortvektoren zu finden ist in der Computerlinguistik zentral und gut erforscht. Ziel ist es, jedem Wort eines Vokabulars einen Vektor zuzuordnen, sodass (semantisch und syntaktisch) ähnliche Wörter von ähnlichen Vektoren repräsentiert werden. Diese können beispielsweise als Input für neuronale Netze verwendet werden.

In der Masterarbeit werden zwei bekannte neuronale Netze betrachtet, die niedrigdimensionale Wortvektoren liefern: Skip-Gram und Skip-Gram mit Negative-Sampling (SGNS). Ausgehend von der Annahme, dass die Dimension dieser Wortvektoren groß ist (mindestens so groß wie die Größe des Vokabulars), kanngezeigt werden, dass ein anderes Verfahren, nämlich das Faktorisieren einer Wort-Kontext-Matrix mithilfe von Singulärwertzerlegung, auch die Zielfunktion des neuronalen Netzes maximiert. Obwohl diese Verknüpfung für niedrigdimensionale Einbettungen nicht gemacht werden kann, liefert die Singulärwertzerlegung in diesem Fall dennoch gute Ergebnisse und in manchen Linguistik-Aufgabenstellungen funktioniert sie sogar besser als das neuronale Netz, von dem sie abstammt. Dieser Zusammenhang zwischen dem neuronalen SGNS-Netz und der Matrixzerlegung wurde 2014 von Omer Levy und Yoav Goldberg dargelegt.

Anschließend wird die Kosinus-Ähnlichkeit untersucht, die üblicherweise verwendet wird, um die Ähnlichkeit zwischen Wortvektoren zu messen. Teil der Arbeit war es, eine Formel herzuleiten, die ein heuristisches Verständnis dafür gibt, was ‘nah’ bezüglich der Kosinus-Ähnlichkeit in einem d-dimensionalen Raum überhaupt ist. Die verschiedenen Verfahren zur Findung von niedrigdimensionalen Wortvektoren werden verglichen und anhand von Aufgabenstellungen zu Wortähnlichkeit und semantischen und syntaktischen Analogien ausgewertet.

Dario Kieffer

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Herr Dario Kieffer erhält den Alumni-Preis 2020 für seine Masterarbeit:
" Approximate MLE on manifolds"

Sowohl Shape Analysis, mit Anwendungen in Medizin, Computational Anatomy oder Computer Vision, als auch die Verwendung differentialgeometrischer Konzepte zum Kalibrieren von Finanzmodellen basieren auf Begriffen und Resultaten aus der euklidischen Statistik, verallgemeinert auf Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Die beim Verallgemeinern dieser Begriffe auftretenden Schwierigkeiten offenbaren sich bereits bei dem vermeintlich einfachen Versuch das arithmetische Mittel auf Mannigfaltigkeiten zu übertragen. Betrachtet man nämlich beispielhaft die zweidimensionale Sphäre zusammen mit der Addition aus dem umgebenden dreidimensionalen Raum, so sieht man direkt durch das Addieren zweier gegenüberliegender Punkte, dass das Ergebnis des arithmetischen Mittels im Allgemeinen nicht wieder auf der Sphäre liegen muss. Gerade im Fall von Mittelwerten von ortsabhängigen Daten auf der Erdoberfläche zeigt sich so die Unbrauchbarkeit dieser Verallgemeinerung des arithmetischen Mittels. Nichtsdestotrotz lassen sich unter Verwendung geeigneter Charakteristiken Erwartungswert und Varianz auch auf Mannigfaltigkeiten definieren, üblicherweise bezeichnet als Fréchet-Mittel und Fréchet-Varianz. Aufgrund der geometrischen Eigenheiten von Mannigfaltigkeiten sind Berechnungen, bzw. Schätzungen von Erwartungswert und Varianz basierend auf diesen Definitionen jedoch äußerst rechenintensiv.

Angelehnt an ein approximatives Maximum-Likelihood Schätzverfahren wurde in dieser Arbeit eine neue Methode zum Schätzen von Mittelwert und Varianz einer Normalverteilung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten eingeführt. Das Verfahren macht sich zu Nutze, dass sich die Dichte einer Normalverteilung auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten durch Übergangsfunktionen Riemannscher Brownscher Bewegungen definieren lässt. Mittelwert und Varianz sind hierbei allerdings nicht mehr durch das Fréchet-Mittel, bzw. die Fréchet-Varianz gegeben, sondern werden implizit durch die Verteilung definiert. Der Zusammenhang zwischen Wärmeleitungskern und Übergangsfunktion einer Brownschen Bewegung liefert unter Verwendung der asymptotischen Entwicklung des Wärmeleitungskerns dann eine Approximation der Dichte einer auf diese Weise definierten Normalverteilung.

Der Schätzer für den Erwartungswert und die Varianz der Normalverteilung wurde angelehnt an die Definition eines Maximum-Likelihood Schätzers mit Hilfe der approximierten Dichten der Normalverteilung definiert. Unter geeigneten Konvergenzannahmen an das auf den Tangentialraum zurückgezogene Stichprobenmittel und an die Stichprobenvarianz, sowie der Einschränkung, dass der Parameterraum kompakt ist, wurde die stochastische Konvergenz dieses Schätzers gegen den wahren Parameter gezeigt. Für den Beweis der Aussage wurde die Theorie über M-Schätzer verwendet, sowie eine neue Modifikation des Glivenko-Cantelli Theorems eingeführt, bei der Funktionenklassen durch einen zusätzlichen Parameter indiziert sind.