Alumni-Preis 2019

Alex Kaltenbach

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Herr Alex Kaltenbach erhält den Alumni-Preis 2019 für seine Masterarbeit:
"Verallgemeinerte nichtlineare Evolutionsgleichungen"

Die Theorie pseudomonotoner Operatoren ist ein zuverlässiges Werkzeug zum Nachweis der Lösbarkeit eines nichtlinearen Problems. Im Zentrum steht der Hauptsatz über pseudomonotone Operatoren, zurückgehend auf H. Brezis, nach dem jeder pseudomonotone, beschränkte und koerzive Operator, der einen reflexiven Banachraum in seinen Dualraum abbildet, surjektiv sein muss.

Insbesondere wies J.-L. Lions am Beispiel der instationären p-Navier-Stokes-Gleichung nach, dass die Methoden der Theorie pseudomonotoner Operatoren auch auf zeitabhängige Probleme, sogenannte Evolutionsprobleme, adaptiert werden können. Jedoch waren dabei technische Zusatzvoraussetzungen notwendig, um den bekannten Kompaktheitssatz von Aubin-Lions anwenden zu können. Mit sehr wenigen Voraussetzungen kommt dagegen die Anwendung des Hauptsatzes über pseudomonotone Perturbationen maximal monotoner Operatoren, zurückgehend auf F. E. Browder, aus. Der daraus resultierende instationäre Existenzsatz ist allerdings nur auf wenige Probleme anwendbar.

So gelang es bis dato nicht, ein zufriedenstellendes Analogon des Hauptsatzes über pseudomonotone Operatoren für Evolutionsprobleme zu beweisen. Die Ursache lag vor allem im verwendeten Stetigkeitsbegriff. Tatsächlich stellte sich Pseudomonotonie als ein für Evolutionsprobleme ungeeigneten Stetigkeitsbegriff heraus, da dieser die zusätzlichen Informationen der Zeitableitung, die im stationären Fall gerade nicht zur Verfügung stehen, außer Acht lässt.

Die Arbeit bezieht diese zusätzlichen Informationen mit ein und führt zu diesem Zweck eine geeignete Verallgemeinerung des üblichen Pseudomonotoniebegriffs ein, die sogenannte Bochner-Pseudomonotonie. Indem man Beweismethoden von R. Landes und N. Hirano verbindet, gelingt es das gewünschte instationäre Analogon des Hauptsatzes über pseudomonotone Operatoren zu beweisen. Dabei kommt man ohne technische Zusatzvoraussetzungen oder den Satz von Aubin-Lions aus. Insbesondere ist der bewiesene Existenzsatz sehr allgemein formuliert und damit auf einer Vielzahl instationärer Probleme anwendbar.

Jakob Stiefel

[Bild Jakob Stiefel]

Herr Jakob Stiefel erhält den Alumni-Preis 2019 für seine Masterarbeit:
"The Hungry random Walker"

Irrfahrten sind grundliegende Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie und finden Anwendungen auf zahlreichen wissenschaftlichen Gebieten. Es existiert umfassende Literatur zu mathematischen Resultaten über einfache (unbiased) Irrfahrten auf Gittern wie beispielsweise den d-dimensionalen ganzen Zahlen. Hierbei werden Standardtechniken der Wahrscheinlichkeitstheorie genutzt, z.B. Martingal- und Ergodentheorie, Approximation durch Brownsche Bewegung oder Kombinatorik.

Für einige Anwendungen ist es notweidig die Annahme einer einfachen Irrfahrt fallen zu lassen. Möchte man beispielsweise die Bewegung eines hungrigen Individuums modellieren, sollte auf dem Gitter Nahrung vorhanden sein und sich das Indivuduum mit höherer Wahrscheinlichkeit zu neuer Nahrung bewegen. Dies führt zu einer komplexeren Gitterstruktur und zu nicht-markovschen Übergangswahrscheinlichkeiten, da das Nahrungsvorkommen auf dem Gitter von der bisherigen Route des Individuums beeinflusst wird.

In Modellen dieser Art erweisen sich viele der oben genannten Standardmethoden als unbrauchbar. In großen Dimensionen ergeben sich Approximationsresultate gegen eine Brownsche Bewegung. In kleinen Dimensionen, insbesondere Dimensionen Zwei und Drei, erweist sich die Struktur des Gitters als kompliziert, Resultate basieren oft auf Simulationen.

Die Arbeit konzentriert sich daher auf den eindimensionalen Fall und analysiert die asymptotische mittlere Größe des Gebiets (Range), das von einem hungrigen Individuum nach langer Zeit besucht wird, in einem Modell, das auch als Once-reinforced Random Walk bekannt ist. In diesem Modell wird die Größe des „Hungers“ durch einen vorgegebenen Parameter gesteuert. Mit Hilfe Tauber‘scher Theorie wird nachgewiesen, dass sich auf den eindimensionalen ganzen Zahlen die ersten beiden Momemte der Gebietsgröße asymptotisch qualitativ wie eine einfache Irrfahrt verhalten, wobei der Hunger-Parameter über eine Konstante Einfluss nimmt, die explizit berechnet werden kann. Die Methode lässt sich nicht auf Dimension Zwei verallgemenern, es ergeben sich lediglich Apprixomationsresultate in einem leicht angepassten Modell.