Alumni-Preis 2018

Vera Christina Gahlen

Frau Vera Christina Gahlen erhält den Alumni-Preis 2018 für ihre Masterarbeit:
"Neeman-Forcing"

Die Forcing-Technik ist eine Beweismethode in der Mengenlehre, mithilfe derer relative Konsistenzbeweise geführt werden. Sie wurde 1963 von Paul Cohen entwickelt und verwendet, um die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese vom Axiomensystem ZFC zu beweisen.

Gegenstand der Abschlussarbeit ist die Ausarbeitung eines Beweises Itay Neemans der Konsistenz des Proper Forcing Axioms relativ zur Existenz einer superkompakten Kardinalzahl.

Die Idee für Beweise dieses Satzes ist die Iteration properer Forcing-Halbordnungen mithilfe einer Laver Funktion, welche eine repräsentative Menge solcher Halbordnungen bereitstellt. Im Unterschied zum ursprünglichen Beweis verwendet Neeman eine Iteration mit endlichem statt abzählbarem Träger. Der Vorteil einer Iteration mit endlichem Träger ist die mögliche Anpassung der konstruierten Forcing-Halbordnung für andere Forcing Axiome. Allerdings muss auf andere Weise sichergestellt werden, dass die Iteration proper ist, da diese Eigenschaft im Allgemeinen von Iterationen mit endlichen Trägern nicht erhalten wird. Zu diesem Zweck verwendet Neeman seine Halbordnung der Folgen von Modellen zweier Arten als Nebenbedingungen in der Iteration.

Die Arbeit folgt den Ausführungen Neemans im Rahmen seines Artikels Forcing with sequences of models of two types. Dazu werden zunächst die zugrundeliegenden Konzepte sowie Neemans Modell-Folgen-Halbordnung eingeführt. Der größte Aufwand richtet sich im Folgenden darauf die Wirkung dieser Nebenbedingungen detailliert nachzuvollziehen, um zu zeigen, dass die Iteration tatsächlich für gewisse Modelle proper ist. Das letzte Kapitel widmet sich der Ausarbeitung der Beweisskizze Neemans zum zentralen Satz der Arbeit.

Nils Sturma

[Bild Nils Sturma]

Herr Nils Sturma erhält den Alumni-Preis 2018 für seine Bachelorarbeit:
"Formale Gruppengesetze"

Formale Gruppengesetze werden in verschiedenen Bereichen der Mathematik, wie zum Beispiel in der Zahlentheorie, algebraischen Topologie und Lie-Theorie benutzt. Man könnte sich sehr lange mit ihnen beschäftigen, daher werden im Rahmen der Bachelorarbeit nur einzelne Aspekte betrachtet. Kurz gesagt ist ein eindimensionales formales Gruppengesetz F eine formale Potenzreihe in zwei Variablen der Form $F(X, Y) = X + Y + (\mathrm{Terme\ mit\ Grad} \ge 2)$, die sich assoziativ verhält: $F(F(X, Y ),Z) = F(X, F(Y,Z))$. Um Eigenschaften und Sätze über formale Gruppengesetze zu zeigen, bietet es sich häufig an, eine vollständige Induktion über den Grad der vorliegenden Potenzreihen zu führen.

Der Fokus der Arbeit liegt auf eindimensionalen formalen Gruppengesetzen. Zunächst werden eindimensionale formale Gruppengesetze über einem Körper der Charakteristik null untersucht. Es lässt sich recht einfach feststellen, dass diese alle isomorph sind. Ein wesentlicher Teil der Arbeit beschäftigt sich im Anschluss mit der Klassifikation von eindimensionalen kommutativen formalen Gruppengesetzen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper mit positiver Charakteristik. Dazu wird eine Invariante, die Höhe eines formalen Gruppengesetzes, eingeführt und anschließend gezeigt, dass alle formalen Gruppengesetze der gleichen Höhe isomorph sind.

Im zweiten Teil der Arbeit werden interessante Beispiele formaler Gruppengesetze betrachtet. Diese stammen von Gruppenstrukturen auf Mannigfaltigkeiten und algebraischen Varietäten. In einer Umgebung des neutralen Elements einer Lie-Gruppe kann man Koordinaten wählen und die Multiplikationsabbildung durch eine Taylorreihenentwicklung ausdrücken. Dies wird in der Arbeit konkret durchgeführt. Anschließend wird bewiesen, dass die entstandene formale Taylorreihe auch tatsächlich ein formales Gruppengesetz ist. Somit lässt sich aus jeder Lie-Gruppe ein formales Gruppengesetz konstruieren. Für affine algebraische Gruppen funktioniert dies in ganz ähnlicher Art und Weise. Auch hier kann man am neutralen Element eine Taylorreihenentwicklung durchführen und erhält ein formales Gruppengesetz.