Alumni-Preis 2017

Thomas Körber

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Herr Thomas Körber erhält den Alumni-Preis 2017 für seine Masterarbeit:
"Sharp estimates for the principal eigenvalue of p-operators"

Optimale Abschätzungen für die Eigenwerte eines Differentialoperators spielen in verschiedenen Gebieten eine wichtige Rolle: Sie implizieren scharfe untere Schranken für die Konvergenzgeschwindigkeit numerischer Verfahren, liefern optimale Konstanten für gewisse Ungleichungen und beschreiben die minimale Anregungsenergie von physikalischen Systemen. Für den Laplace-Operator auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit bewiesen 1984 Zhong und Yang eine optimale untere Schranke für den kleinsten Eigenwert, welche nur von dem Diameter, der Dimension, und der Ricci-Krümmung der Mannigfaltigkeit abhängt. Im Jahre 2012 konnte Valtorta ein entsprechendes Resultat für den nichtlinearen p-Laplace-Operator beweisen. Mithilfe der Bochner-Formel kann man zeigen, dass der Laplace-Operator alle Informationen über den Diameter, die Dimension und die Ricci-Krümmung einer Riemannschen Mannigfaltigkeit enthält. Die bisherigen Resultate legen deshalb nahe, dass dementsprechende Eigenwertabschätzungen auch für allgemeinere Differentialoperatoren zweiter Ordnung gelten sollten, vorausgesetzt diese erfüllen gewisse intrinsische Bedingungen. Tatsächlich kann man für lineare Differentialoperatoren zweiter Ordnung die drei obigen Größen auf intrinsische Weise definieren. Dabei ist allerdings zu beachten, dass die induzierten Größen nicht den geometrischen Größen der Mannigfaltigkeit entsprechen. Bakry und Qian konnten im Jahre 2000 eine entsprechende Abschätzung für elliptische Operatoren beweisen.

In dieser Arbeit wird der sogenannte nicht-lineare p-Operator eingeführt, welcher eine Verallgemeinerung des p-Laplace für lineare, elliptische Differentialoperatoren zweiter Ordnung darstellt. Zudem wird eine optimale Abschätzung für den ersten Eigenwert bewiesen, die nur vom Diameter abhängt und eine endliche Dimension sowieso nicht-negative Ricci-Krümmung voraussetzt. Dies erfolgt durch zwei Vergleichssätze, die den Gradienten sowie das Maximum der Eigenfunktion mit einem eindimensionalen Modellraum vergleichen. Die Hauptzutaten sind hierbei eine sogenannte p-Bochner-Formel für den p-Operator, sowie die Tatsache, dass die Curvature-Dimension-Ungleichung automatisch eine verbesserte Version impliziert. Der Fall der Gleichheit wird mithilfe eines Maximumprinzips bearbeitet und dabei stellt sich heraus, dass Gleichheit genau dann eintritt, wenn der Operator der eindimensionale p-Laplace-Operator ist.

Felicitas Schmitz

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Frau Felicitas Schmitz erhält den Alumni-Preis 2017 für ihre Masterarbeit:
"Deterministic games as a basis for numerical methods to approximate parabolic equations"

Parabolische Differentialgleichungen werden als Modell für viele zeitabhängige physikalische Vorgänge verwendet. Das bekannteste Beispiel ist die sogenannte Wärmeleitungsgleichung, die beschreibt, wie sich die Temperaturverteilung in einem Körper entwickelt. Oft können Differentialgleichungen nicht exakt gelöst werden. In diesem Fall verwendet man numerische Verfahren, um die Lösung der Gleichung zu approximieren. Die Entwicklung solcher Verfahren ist, vor allem für nichtlineare Gleichungen, ein aktuelles Forschungsgebiet.

Über eine Interpretation der Gleichung als deterministisches Spiel konstruierten Robert Kohn und Sylvia Serfaty im Jahre 2010 ein semidiskretes Verfahren zur Approximation von parabolischen Differentialgleichungen. Dieses Verfahren ist insbesondere deshalb interessant, weil es sich nicht auf einen einzelnen Typ von Gleichung beschränkt, sondern auf eine große Klasse von parabolischen Gleichungen anwendbar ist; speziell können mit dem Verfahren auch nichtlineare Gleichungen approximiert werden.

In der Arbeit wird untersucht, ob und wie dieses semidiskrete Verfahren vollständig diskretisiert werden kann. Für nicht näher bestimmte Gleichungen ist eine Ortsdiskretisierung im Sinne eines „Wide Stencil“-Verfahrens angemessen. Das auf diese Weise volldiskretisierte Verfahren konvergiert gegen die Viskositätslösung der zugehörigen Differentialgleichung, was unter Verwendung des Barles-Souganidis-Rahmens gezeigt wird.

Die Implementierung des Verfahrens gestaltet sich jedoch schwierig, da eine große, mit der Anzahl der Gitterpunkte skalierende Menge an Sattelpunktproblemen zu lösen ist. Aufgrund der Ortsdiskretisierung findet die innere Optimierung im Gegensatz zur äußeren nur über einer endlichen Menge statt. Deshalb wären die Sattelpunkte analytisch und effizient berechenbar, wenn die Maximierung und die Minimierung vertauscht werden dürften. Dies ist aber nicht der Fall: Rigoros wird nachgewiesen, dass das Verfahren mit vertauschten Optimierungen nur einen Shift der Anfangswerte bewirkt und somit ganz gewiss nicht gegen die gesuchte Lösung konvergiert. Die Approximierung von Sattelpunktproblemen ist hingegen (mit den bisher bekannten Methoden) sehr aufwändig. Insgesamt wird deshalb die Konstruktion eines effizienten numerischen Algorithmus' auf Grundlage von Kohns und Serfatys Idee als unwahrscheinlich angesehen.