Alumni-Preis 2016

Pascal Schwer

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Herr Pascal Schwer erhält den Alumni-Preis 2016 für seine Diplomarbeit:
"Borel*-Mengen und analytische Mengen in verallgemeinerten Baire-Räumen"

In der verallgemeinerten deskriptiven Mengenlehre werden verallgemeinerte Baire-Räume (für überabzählbare Kardinalzahlen) betrachtet. Interessant ist dabei der Vergleich zwischen zwei unterschiedlichen Verallgemeinerungen der aus dem klassischen abzählbaren Fall bekannten Borel-Mengen: Während die eine Verallgemeinerung einfach eine erweiterte Abgeschlossenheit unter Vereinigungen fordert, ist die andere, der Begriff der Borel*-Mengen, über Gewinnstrategien bei sogenannten Borel*-Spielen auf Bäumen definiert. Strategien zu diesen Spielen beziehen sich günstigerweise in jeder Spielsituation nur auf den zuletzt erreichten Baumknoten.

Analytische und coanalytische Mengen werden in Analogie zum abzählbaren Fall mittels Projektionen abgeschlossener Mengen definiert. Sie werden in einem Exkurs der Arbeit mit einer formalen Sprache beschrieben, bei der, einfach ausgedrückt, Existenzquantifizierung analytischen Mengen entspricht und Allquantifizierung coanalytischen Mengen.

Ein weiteres Kapitel widmet sich dem Beweis dafür, dass die Mengen, die sowohl analytisch als auch coanalytisch sind, gerade diejenigen Borel*-Mengen sind, zu denen es ein determiniertes Borel*-Spiel gibt.

Wie sich zunächst noch recht einfach feststellen lässt, sind alle Borel*-Mengen analytisch. Eine der wesentlichen Fragestellungen der Arbeit ist, ob auch gelten kann, dass alle analytischen Mengen Borel* sind. Tatsächlich ist diese Aussage unter V=L richtig und somit relativ konsistent mit ZFC.

Eine wichtige Rolle spielt dabei, dass unter V=L die Lage von Potenzmengen innerhalb der L-Hierarchie gut eingegrenzt ist und dass Limesstufen der L-Hierarchie definierbare Skolemfunktionen haben. Ebenfalls von Bedeutung ist die Absolutheit einiger wichtiger mengentheoretischer Eigenschaften, das heißt deren Vererbung bei transitiven Mengenmodellen „nach oben“ bzw. „nach unten“.

Susanne Steinhauser

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Frau Susanne Steinhauser erhält den Alumni-Preis 2016 für ihre Masterarbeit:
"Determining optimal cut-offs in the meta-analysis of diagnostic test accuracy studies"

Ein diagnostischer Test entscheidet zum Beispiel basierend auf einem Biomarker oder einem Fragebogen, ob eine Person krank ist oder nicht. Die Güte eines solchen Tests kann mit einer Diagnosestudie untersucht werden. Existieren mehrere publizierte Diagnosestudien zu einem Test, so ist es sinnvoll eine systematische Übersichtsarbeit mit einer Metaanalyse durchzuführen, um die Ergebnisse zusammenzufassen.

Für systematische Übersichtsarbeiten über Diagnosestudien, bei denen einige Studien mehr als einen Schwellenwert des Biomarkers und die dazugehörige Sensitivität und Spezifität berichten, gibt es allerdings momentan keinen weit verbreiteten Metaanalyseansatz, der diese Informationen nutzt. Das traditionelle bivariate Modell zum Beispiel geht lediglich von einem Paar Sensitivität und Spezifität pro Studie aus. Gibt es aber mehr Informationen, ist es sinnvoll diese zu nutzen.

In der Masterarbeit wurde ein kürzlich entstandener Ansatz ausgearbeitet, der genau diese Art von Daten verwendet. Die Grundidee ist, die Verteilungsfunktion des zugrundeliegenden Biomarkers jeweils in der Gruppe der gesunden und der der kranken Patienten zu schätzen. Es wurde ein parametrischer Ansatz gewählt und die unterschiedlichen Verteilungsparameter für die beiden Gruppen geschätzt. Dies wird durch lineare Regression der transformierten Verhältnisse negativer Testergebnisse in den beiden Gruppen mithilfe eines gemischten Modells erreicht, wobei Studie als Gruppierungsfaktor fungiert. Hat man die Verteilungsfunktionen geschätzt, erhält man sowohl Schätzer für die gepoolten Ergebnisse der Diagnosestudien als auch für einen optimalen Schwellenwert des Biomarkers über alle Studien hinweg.

Die Demonstration des Ansatzes an verschiedenen Beispielen führte fast ausschließlich zu sehr überzeugenden Ergebnissen. Zudem wurde eine Simulationsstudie durchgeführt.

Johannes Weiß

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Herr Johannes Weiß erhält den Alumni-Preis 2016 für seine Diplomarbeit:
"Untersuchung eines Krylov-Raum basierten Vorkonditionierers für ein matrixfreies GMRes-Verfahren"

In Naturwissenschaft und Technik treten bei etlichen Anwendungen lineare Gleichungssysteme auf: Diese Gleichungssysteme entstehen beispielsweise direkt in der Simulation von diskreten Systemen oder auch indirekt durch diskrete Modellierungen von Differential- und Integralgleichungen. Zur Lösung dieser linearen Gleichungssysteme sind iterative Verfahren inzwischen das Mittel der Wahl. Diese ermöglichen, im Vergleich zu direkten Verfahren, hohe Einsparungen im Speicherbedarf und damit auch in der Rechenzeit, da es oft nicht notwendig ist eine Systemmatrix zu speichern.

Bei der praktischen Anwendung von iterativen Verfahren treten jedoch trotz guter theoretischer Erkenntnisse häufig Probleme auf. So sind in typischen Anwendungen wie z.B. der Strömungsmechanik langsame Konvergenzgeschwindigkeiten zu beobachten. Einen Ausweg bietet hier die Vorkonditionierung. Die Idee dahinter ist die Transformation des ursprünglichen linearen Gleichungssystems in ein äquivalentes System, welches aber einfacher und damit schneller zu lösen ist. Die Zuverlässigkeit eines iterativen Verfahrens hängt oft mehr von einem geeigneten Vorkonditionierer ab.

Diese Arbeit behandelt die Untersuchung und Implementierung eines Vorkonditionierers in DUNE (Distributed and Unified Numerics Environment) der eng mit einem der allgemeinsten iterativen Verfahren, dem GMRes-Verfahren (Generalized Minimal Residual Algorithm) verbunden ist. Dieser kann, im Gegensatz zu vielen bekannten Vorkonditionierern, auf einem matrixfreien Verfahren aufbauen, da er keinen expliziten Zugriff auf die Einträge der Systemmatrix benötigt. Die Idee ist es, mit den Krylov-Räumen, der Hessenberg-Matrix und den Givens-Rotationen die wesentlichen Strukturen eines GMRes-Verfahrens zu nutzen. Kodiert man diese Informationen eines bereits gelösten oder auch nur zum Teil gelösten Gleichungssystems in diesem Vorkonditionierer, so kann dieser ein GMRes-Verfahren, angewandt auf ein „ähnliches“ Gleichungssystem, beschleunigen. Ein Anwendungsfall dieses speziellen Vorkonditionierers liegt dadurch z.B. in der Lösung von Evolutionsgleichungen, da hier Gleichungssysteme innerhalb von Newton-Iterationen oder über Zeitschritte hinweg in gewisser Art und Weise verwandt sind.