Alumni-Preis 2015

Erik Bäumle

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Herr Erik Bäumle erhält den Alumni-Preis 2015 für seine Diplomarbeit:
"Existenz schwacher Lösungen für instationäre, mikropolare, elektrorheologische Flüssigkeiten"

Elektrorheologische Flüssigkeiten verändern unter Einfluss eines elektrischen Feldes ihre Viskosität. Dieser sogenannte elektrorheologische Effekt hängt von der Stärke und Richtung des elektrischen Feldes ab. Um diese Abhängigkeit besser zu beschreiben, wird der Begriff der Mikropolarität zu Hilfe genommen. Die Partikel mikropolarer Flüssigkeiten haben, neben den drei Freiheitsgraden der Translation, drei zusätzliche Freiheitsgrade einer Drehung. Ein solches Fluid wird durch ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen mit den Unbekannten Geschwindigkeit, Mikrorotation und Druck beschrieben. Aufgrund der geforderten Inkompressibilität genügt es in der schwachen Formulierung divergenzfreie Testfunktionen in der Geschwindgkeitsgleichung zu verwenden. Somit verschwindet der Gradient des Druckes und das System besitzt nur noch die Geschwindigkeit und Mikrorotation als Unbekannte.

Um nun die Existenz eines Lösungspaares der schwachen Formulierung zu zeigen, wird das System durch die Hinzunahme zweier Hilfsterme passend approximiert. Für dieses approximative System kann mit der bekannten Theorie pseudomonotoner Operatoren und instationären Kompaktheitsaussagen die Existenz von Lösungspaaren gezeigt werden. Die Schwierigkeit im Grenzübergang von Lösungen des approximativen Systems zu schwachen Lösungen des eigentlichen Systems besteht in der Identifizierung der Stresstensoren. Hierfür werden zwei Resultate über instationäre Lipschitz-Truncations benutzt, die geeignete Testfunktionen für die Differenz aus approximativen Gleichungen und Grenzwertgleichungen liefern.

Katharina Hopf

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Frau Katharina Hopf erhält den Alumni-Preis 2015 für ihre Diplomarbeit:
"Untersuchungen zur Wohlgestelltheit von Wellengleichungen vierter Ordnung und quasilinearen Schrödingergleichungen".

Wellengleichungen vierter Ordnung treten auf natürliche Weise als Modellgleichungen physikalischer Probleme auf. So führt etwa die Anwendung des d'Alembertschen Prinzips auf eine elastische geschlossene Kurve im euklidischen Raum auf eine quasilineare Wellengleichung vierter Ordnung.

Eine fundamentale Eigenschaft solcher Gleichungen ist ein dem Energieerhaltungssatz für Lösungen klassischer Wellengleichungen (zweiter Ordnung) analoger Erhaltungssatz. Da anders als im Falle der klassischen hyperbolischen Wellengleichungen die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Lösungen der hier betrachteten Gleichungen unendlich ist, treten Phänomene auf, die sich grundlegend von jenen für Wellengleichungen zweiter Ordnung unterscheiden. An dieser Stelle lohnt ein Blick auf die Schrödingergleichung - motiviert durch die Beobachtung, dass der Wellengleichungsoperator vierter Ordnung Produkt zweier Schrödingeroperatoren ist, und somit Wellengleichung vierter Ordnung und Schrödingergleichung ähnliche Dispersionseigenschaften haben.

In dieser Diplomarbeit werden Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsaussagen für lineare und nichtlineare Wellengleichungen vierter Ordnung in einer relativ allgemeinen Form auf dem Ganzraum entwickelt, wobei im Wesentlichen Energiemethoden und Sobolev-Einbettungen zum Einsatz kommen. Während für semilineare Gleichungen mit konstantem Leitkoeffizienten und ohne Störterm dritter Ordnung lokale Wohlgestelltheit ähnlich der von klassischen Wellengleichungen gezeigt werden kann, bedarf es für die Wohlgestelltheit quasilinearer Gleichungen einer speziellen Struktur. Darüberhinaus werden Techniken aus der harmonischen Analysis vorgestellt, mit denen sich Dispersionseffekte von Schrödingergleichungen erfolgreich ausnutzen lassen, und welche sich auch für Wellengleichungen vierter Ordnung als fruchtbar erweisen könnten.

Daniel Small

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Herr Daniel Small erhält den Alumni-Preis 2015 für seine Masterarbeit:
"Risikoschranken mit zusätzlicher Information"

Risikomanagementabteilungen im Finanzsektor haben die Aufgabe alle Risikoexpositionen ihres Unternehmens in einem Modell abzubilden. Solche Modelle unterliegen großen Modellunsicherheiten in der Abhängigkeitsstruktur zwischen den einzelnen Risiken - häufig lässt sich nur die Fréchetklasse (Menge der mehrdimensionalen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, welche die gleichen festen Randverteilungen aufweisen) angeben, in der die gemeinsame Verteilung der Risiken liegt. Banken und Versicherungen sind entsprechend der Regularien Basel III bzw. Solvency II dazu verpflichtet Kapitalrücklagen vorzunehmen, um auftretende Verluste decken zu können. Dafür sind die Quantile der Verteilung der Summe der Risiken interessant, die nur bei bekannter gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilung der Risiken explizit berechnet werden können. Es muss folglich darauf ausgewichen werden, Suprema und Infima der Quantile über die Fréchetklasse der möglichen gemeinsamen Verteilungen zu bestimmen, sogenannte Risikoschranken. Das von unterer und oberer Risikoschranke aufgespannte Intervall I kann sehr breit sein, was die Risikoschranken in der Praxis untauglich macht. In meiner Masterarbeit werden mit Hilfe von zusätzlichen Annahmen an die Abhängigkeitsstruktur der Risiken die betrachteten Fréchetklassen verkleinert und entsprechend Risikoschranken hergeleitet, die das Intervall I verkleinern.