Alumni-Preis 2014

Nadja Fischer

[Bild Nadja Fischer] Frau Nadja Fischer erhält den Alumni-Preis 2014 für ihre Diplomarbeit „Die infinitesimal-äquivariante Eta-Invariante“

Der Indexsatz von Atiyah und Singer ist eine bedeutende Errungenschaft der Mathematik des 20. Jahrhunderts. Es wird gezeigt, dass eine scheinbar analytische Größe, der Fredholm-Index eines Dirac-Operators, auch eine topologische Größe ist, nämlich der kohomologische Index des Dirac-Operators. Bei Erweiterung des Satzes auf Mannigfaltigkeiten mit Rand tritt als Randkorrekturterm eine Invariante auf, die Eta-Invariante. Lässt man zusätzlich eine Wirkung einer kompakten Liegruppe auf die Mannigfaltigkeit zu, lässt sich ein Indexsatz für den äquivarianten Index formulieren, bei welchem die G-äquivariante Eta-Invariante als Randkorrekturterm enthalten ist. Eine solche Formel für den äquivarianten Index erhält man andererseits auch durch Betrachtung von Familien von Mannigfaltigkeiten mit kompakter Strukturgruppe. In diesem Fall tritt als Randkorrekturterm eine weitere Invariante auf, die infinitesimal-äquivariante Eta-Invariante. Die Gleichung ist hier auf dem Niveau formaler Potenzreihen zu verstehen.

In dieser Arbeit konnte die Existenz und Wohldefiniertheit der infinitesimal-äquivarianten Eta-Invariante als Funktion in Werten der Liealgebra gezeigt werden. Das asymptotische Verhalten für große Zeiten kann mit Hilfe funktionalanalytischen und funktionentheoretischen Methoden aufgezeigt werden. Die Konvergenz für kleine Zeiten zu beweisen ist deutlich anspruchsvoller und erfordert unter anderem eine Lokalisierung, Trivialisierung und Getzler-Reskalierung sowie die Einführung einer speziellen Normfamilie. Der Beweis wird im Kontext einer Vergleichsformel zwischen der G-äquivarianten Eta-Invariante und der infinitesimal-äquivarianten Eta-Invariante geführt. Die Ergebnisse liefern einen großen Teil des Beweises dieser Vergleichsformel.

Martin Rapp

[Bild Martin Rapp]

Existenz von Lösungen von Konvektions-Diffusionsproblemen in variablen Exponentenräumen

Die in der Masterarbeit untersuchten Konvektions-Diffusionsgleichungen modellieren die Konzentration eines Stoffes in einem inkompressiblen Fluid mit gegebenem Geschwindigkeitsfeld. Bei der Verwendung sogenannter elektrorheologischer Materialien kann die Viskosität und somit das Verhalten des Fluids durch elektrische Felder verändert werden. Um dies zu modellieren, wird eine Verallgemeinerung des Laplaceoperators auf den p-Laplace mit ortsabhängigem p eingeführt. Um mit der Theorie der monotonen Operatoren schwache Lösungen der Gleichungen zu erhalten, werden zu dem verallgemeinerten Laplaceoperator passende Lebesgue- und Sobolevräume mit variablen Exponenten p(x) eingeführt. Viele Eigenschaften der klassischen Lebesgue- und Sobolevräume lassen sich auf diese Verallgemeinerung unter geeigneten Annahmen an p übertragen. Dennoch gibt es auch Eigenschaften, die nur für den klassischen Fall gelten. Um die Gleichungen zu lösen, wird zuerst eine Folge von approximierenden Gleichungen betrachtet, die mit Standardmethoden der klassischen Theorie monotoner Operatoren zu lösen sind. Unter geeigneten Voraussetzungen an die Integrierbarkeit des Geschweindigkeitsfelds des Fluids wird schließlich aus der Approximation mit der Methode der Lipschitz-Truncations auf die schwache Lösbarkeit der Konvektions-Diffusionsgleichungen in beschränkten Gebieten geschlossen.

Lena Maria Strehlau

[Bild Lena Maria Strehlau]

Erhaltungsgleichung auf Mannigfaltigkeiten mit Rand, Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung

Systeme hyperbolischer Erhaltungsgleichungen werden beispielsweise bei der Wettervorhersage verwendet. Möchte man dabei nur Aussagen über einzelne Gebiete, etwa einzelne Kontinente oder für nur eine Erdhalbkugel, treffen und somit nicht den Rechenaufwand für die gesamte Erdoberfläche aufbringen, ist die Hinzunahme von Randbedingungen notwendig. Um Aussagen über Systeme solcher Gleichungen treffen zu können, müssen zunächst skalare Gleichungen untersucht werden.

Diese Arbeit beschäftigt sich mit der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung eines skalaren hyperbolischen Anfangsrandwertproblems auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit mit Rand, bestehend aus

  • einer skalaren hyperbolischen Erhaltungsgleichung,
  • einer Anfangsbedingung und
  • einer Randbedingung, welche auf einem - a-priori nicht bekannten - Teil des
Randes Nullrandwerte, vorschreibt.

Anhand der Methode der Charakteristiken, welche auch in der Theorie über Anfangswertprobleme verwendet wird, zeigt sich, dass die Lösung an gewissen Stellen bereits durch die Anfangsdaten festgelegt ist. Dies ist insbesondere auch für Teile des Randes der Fall. An diesen Stellen können somit keine beliebigen Randwerte vorgeschrieben werden. In der Arbeit wird daher eine Randbedingung formuliert, welche nur an Teilen des Randes, an welchen die Lösung nicht bereits festgelegt ist, Nullrandwerte fordert. Der zentrale Schritt, um Wohlgestelltheit des - damit zulässig formulierten - Problems zu zeigen, ist der Beweis der Existenz einer Spur für Funktionen beschränkter Totalvariation auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit Rand. Die Eigenschaften der Spur bezüglich Beschränktheit und Konvergenz ermöglichen schließlich eine Art partielle Integration für BV- Funktionen auf Mannigfaltigkeiten. Für den Existenzbeweis wird die „Vanishing Viscosity Method“ verwendet und indem Kruzkov’s Verdopplung der Variablen auf den vorliegenden Fall transferiert wird, kann Eindeutigkeit gezeigt werden.