Alumni-Preis 2013

Anja Fuchshuber

[Bild Anja Fuchshuber] Frau Anja Fuchshuber erhält den Alumni-Preis 2013 für ihre Diplomarbeit.

Eta-Invarianten spielen in der Indextheorie in verschiedenen Situationen eine große Rolle. Atiyah, Patodi und Singer konnten 1973 in einer Arbeit den Atiyah-Singer-Indexsatz für Mannigfaltigkeiten mit Rand verallgemeinern. In dieser Situation tritt die Eta-Invariante als Korrekturterm des Randes auf. Die andere Situation ist die von Familien von Mannigfaltigkeiten. Im Familienindexsatz gibt das äußere Differential der Eta-Form gerade die Differenz zwischen kohomologischem und analytischem Index.

In dieser Arbeit wurde ein Faserbündel von Mannigfaltigkeiten betrachtet, bei dem die Krümmung verschwindet, die horizontale Distribution also integrabel ist. Die Fragestellung der Arbeit ist, ob unter dieser zusätzlichen Voraussetzung die Eta-Form geschlossen ist. Es wurde gezeigt, dass es in diesem Falle einen Korrekturterm gibt, der lokal in Termen der Krümmung berechenbar ist, sodass die Differenz von Eta-Form und Korrekturterm in höheren Graden eine de-Rham-Kohomologieklasse auf der Basis definiert. Diese Kohomologieklasse hängt nicht von den gewählten Metriken ab und man erhält eine Invariante auf den Isomorphieklassen flacher Faserbündel von Spin-Mannigfaltigkeiten, bei denen der Spin-Dirac-Operator invertierbar ist.

Als Beispiel für ein Faserbündel mit integrabler horizontaler Distribution wurde ein Torusbündel betrachtet. Es wurde gezeigt, dass in diesem Falle die Eta-Form tatsächlich geschlossen ist und der Korrekturterm verschwindet.

Cédric Thoms

[Bild Thoms]

Ihren Ursprung hat die Theorie des Optimalen Stoppens in den Überlegungen von Abraham Wald den für eine statistische Aussage benötigten Stichprobenumfang möglichst gering zu halten. So wird dieser bei einem sequentiellen Hypothesentest nicht im Voraus festgelegt, sondern fortlaufend anhand der bisherigen Beobachtungen entschieden, ob die Hypothese bereits akzeptiert beziehungsweise verworfen werden kann, oder ob weitere Beobachtungen angestellt werden müssen. Auf diese Weise lässt sich der benötigte mittlere Stichprobenumfang bedeutend verringern. Snell und später Dynkin entwickelten daraus eine von statistischen Aspekten gelöste Problemstellung: Man besitzt das Recht in der Zukunft einmalig einen vom Wert eines beobachtbaren Prozesses abgeleiteten Gewinn zu erhalten und sucht daher eine Strategie (d.h. eine Stoppzeit), die diesen zu erwartenden Gewinn maximiert. Diese Formulierung zielt insbesondere auf eine finanzmathematische Anwendung wie die Bestimmung des optimalen Ausübungszeitpunkts einer amerikanischen Option. Als zugrundeliegenden Prozess verwendet man typischerweise eine Diffusion. Zudem kann das Optimale Stoppproblem auch funktional abhängig vom Startwert des Prozesses formuliert werden.

Aus finanzmathematischer Sicht tritt noch folgender Effekt auf: Eine zukünftige Auszahlung wird geringer als eine sofortige Auszahlung in gleicher Höhe eingeschätzt. Daher betrachtet man statt dem beim Stoppen ausgezahlten Gewinn dessen Barwert; also den Betrag, der bei stetiger Diskontierung (zu einem festen Marktzinssatz) über die entsprechende Wartezeit angelegt den gleichen Wert erreicht. Man spricht in solch einem Fall von Optimalen Stoppen bei (konstanter) Diskontierung. Eine allgemeinere Methode einen zeitlichen Wertverlust zu beschreiben stellt die zufällige Diskontierung dar. Hier ist der Diskontierungsfaktor ein additives Funktional, d.h. selbst ein stochastischer Prozess, welcher an den zugrundeliegenden Prozess geknüpft ist. Dies ermöglicht beispielsweise etwaige Präferenzen hinsichtlich des Verlaufs des Prozesses in die Diskontierung einfließen zu lassen oder auch nicht-monetäre Problemstellungen zu betrachten. Insbesondere handelt es sich bei der konstanten Diskontierung um einen Spezialfall zufälliger Diskontierung.

Für Optimales Stoppen bei zufälliger Verzinsung stellten Beibel und Lerche in ihrem Paper „A note on Optimal Stopping of Regular Diffusions under Random Discounting“ einen neuen Lösungsansatz vor. Sie betrachten darin ein Optimales Stoppproblem, dem eine eindimensionale reguläre Diffusion mit festem Startwert zugrundeliegt. Ihnen gelang es, das Problem auf die Untersuchung explizit gegebener Funktionen auf fünf mögliche Verhaltensweisen zurückzuführen. Für den Spezialfall der konstanten Diskontierung entwickelten Christensen und Irle in ihrem Paper „A harmonic-function technique for the optimal stopping of diffusions“ den Beibel-Lerche-Ansatz weiter. Sie betrachteten darin eine vom Startwert funktional anhängig formulierte Problemstellung und führten diese auf das Bestimmen von Maximalstellen explizit gegebener Funktionen zurück. In meiner Arbeit verallgemeinere ich nun die Aussagen von Christensen und Irle auf Optimales Stoppen bei zufälliger Diskontierung. Hierzu nutze ich neben der Technik eine Diffusion zu „killen“ insbesondere die Martin-Rand-Theorie zur Integraldarstellung von exzessiven Funktionen.