Alumni-Preis 2011

Sebastian Schwarzacher

[Bild Sebastian Schwarzacher] Herr Sebastian Schwarzacher erhält den Alumni-Preis 2011 für seine Diplomarbeit "Higher Integrability of Elliptic Differential Equations with Variable Growth"

Die Poissongleichung ist eine elliptische Differentialgleichung, welche unter anderem die Auslenkung einer Membran beschreibt, die mit einer Kraft belastet ist. Die Lösung ist insbesondere ein Minimierer der Biegeenergie. Mit Hilfe der Variationsrechnung existiert für jedwede quadratisch integrierbare Kraft ein eindeutiger Minimierer. Manche Eigenschaften der Kraft lassen sich auf den Minimierer und dessen Ableitungen transferieren. Im Falle von Minimierern ist die Integrabilität eine wichtige Eigenschaft -- es gilt dabei zu zeigen, dass sich höhere Integrierbarkeit der Kraft auf die Lösung und deren Gradienten vererbt. Fur die Poissongleichung ist diese Frage durch die Darstellungsformel beantwortet: Ein singulären Integraloperator bildet explizit die Kraft auf deren Minimierer ab. Diese Theorie ist gut verstanden, so dass die Integrabilitätszusammenhänge genau bekannt sind. Nichtlineare Minimierungsproblemen entstehen, indem man nicht quadratische Energien betrachtet. Tadeuz Iwaniec gelang es als Erstem höhere Integrabilität fur Minimierer der sogenanten p-Energie zu zeigen, welche die einfachsten nichtlinearen Energien sind. In dieser Diplomarbeit geht es um p-Energien, bei welchen p eine vom Ort abhängige Funktion ist. Minimierer solcher Energien finden wichtige Anwendung. Diese reichen von der Bildverarbeitung bis zu der Modellierung elektrorheologischer Fluide. Die Italiener Acerbi und Mingione bewiesen lokal höhere Integrabilität, indem sie die Theorie von Iwaniec mit Techniken, welche der Schaudertheorie verwandt sind, lokalisierten. Es gelang durch eine genauere Analysis der variablen Lebesgueräume dieses Resultat zu verbessern, so dass auch höhere Integrabilität auf unbeschränkten Gebieten gezeigt werden konnte.