Alumni-Preis 2010

Thomas Müller

[Bild Thomas Müller] Herr Thomas Müller erhält den Alumni-Preis 2010 für seine Diplomarbeit "Erhaltungsgleichungen auf Mannigfaltigkeiten: Wohlgestelltheit, Totalvariationsabschätzungen und Numerik".

The simulation of atmospheric flows on Earth's surface, of biological transport on cell membranes or of flow through porous media with fractions - just to mention some applications - involves the solution of conservation laws on Riemannian manifolds, because mathematically, all these phenomena are described by a system of conservation laws on curved surfaces. The corresponding equations in Euclidean space tell us that their general treatment involves huge difficulties. Considering scalar equations instead of system, there are existence and uniqueness results for the Euclidean case. And physical phenomena like shocks and rarefaction waves even occur in the scalar case. Therefore, matter of this thesis is the thorough analysis of scalar equations on curved surfaces, or more general, on Riemannian manifolds, as a model problem for corresponding systems of conservation laws. Thereby, the concept of entropy solutions is generalized to manifolds. An essential result of this diploma thesis is an estimate of the total variation of the entropy solution in the case of two dimensional manifolds. The proof is based on the construction of viscosity solutions and the uniform estimation of their total variation. Applying a compactness argument one deduces convergence of the viscosity solutions towards an entropy solution as well as the total variation estimate. An example illustrates that better estimates are not to be expected. In order to find approximate solutions both a Finite Volume scheme with its triangulation of a manifold is defined and an existing convergence proof of this scheme is presented. With the help of several test problems numerical experiments are carried out. In doing so the convergence of the scheme and the time development of the total variation are numerically investigated.

David Stotz

[Bild David Stotz] Herr David Stotz erhält den Alumni-Preis 2010 für seine Diplomarbeit "Homogeneous Coordinates on Toric Varieties via Methods from Geometric Invariant Theory".

Die Idee, homogene Koordinaten auf torischen Varietäten zu konstruieren, entspringt dem Modellbeispiel des projektiven Raums oder auch der klassisch gut verstandenen Hirzebruch Fläche. Hierfür ist es notwendig den Quotienten nach einer Gruppenwirkung aus einem afiinen Raum zu bilden. Die allgemeine Theorie der Quotientenbildung von algebraischen Varietäten wird in der Geometrischen Invariantentheorie behandelt. Diese stellt nützliche Resultate bereit, wie zum Beispiel das Hilbert-Mumford Kriterium, welches einem erlaubt die stabilen Punkte einer gegebenen algebraischen Gruppenwirkung zu finden. Das Ziel der Arbeit war es, die Natürlichkeit der allgemeinen Quotientenkonstruktion von torischen Varietäten darzustellen und dabei einen modifizierten Beweis für den Satz zu geben, welcher erklärt wann man diesen Quotienten als Bahnenraum erhält. Maßgebend für ersteres ist dabei die Betrachtung des Cox-Rings, der im Falle von torischen Varietäten die besonders einfache Struktur hat, nämlich ein Polynomring ist und somit also einen affinen Raum beschreibt. Der modifizierte Beweis beruht auf dem Hilbert-Mumford Kriterium aus der Invariantentheorie, das einem erlaubt die notwendige Berechnung auf der Basis der konvexen Kegel durchzuführen, deren Geometrie eine torische Varietät definiert.