Alumni-Preis 2010

Thomas Müller

[Bild Thomas Müller] Herr Thomas Müller erhält den Alumni-Preis 2010 für seine Diplomarbeit "Erhaltungsgleichungen auf Mannigfaltigkeiten: Wohlgestelltheit, Totalvariationsabschätzungen und Numerik".

Die Simulation von atmosphärischen Strömungen auf der Erdoberfläche, biologischen Transportvorgängen auf Zellmembranen oder auch vom Fluss durch poröse Medien mit Rissen - um nur einige Anwendungen zu nennen - erfordern die Lösung von Erhaltungsgleichungen auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Denn mathematisch betrachtet sind all diese Phänomene durch ein hyperbolisches System von Erhaltungsgleichungen auf einer gekrümmten Oberfläche zu beschreiben. Aus den entsprechenden Gleichungen im Euklidischen ist bekannt, dass sich deren allgemeine theoretische Behandlung als äußerst schwierig erweist. Beschränkt man sich jedoch, anstatt Systeme zu betrachten, auf skalare Erhaltungsgleichungen, dann sind Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für den euklidischen Fall vorhanden. Auch physikalische Phänomene wie zum Beispiel Schocks und Verdünnungswellen treten schon im Falle von skalaren Gleichungen auf. Gegenstand dieser Arbeit ist deshalb die gründliche Untersuchung von skalaren Erhaltungsgleichungen auf gekrümmten Oberflächen, oder allgemeiner, auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten, als Modellproblem für entsprechende Systeme von Erhaltungsgleichungen. Dabei wird der Lösungsbegriff der Entropielösung auf Mannigfaltigkeiten übertragen. Ein zentrales Resultat dieser Diplomarbeit ist eine Abschätzung der Totalvariation der Entropielösung für den Fall von zweidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Der Beweis basiert auf der Konstsruktion von Viskositätslösungen und der gleichnäßigen Abschätzung der Totalvariation dieser Lösungen. Mit einem Kompaktheitssatz folgt dann sowohl die Konvergenz der Viskositätslösungen gegen eine Entropielösung als auch die schon erwähnte Totalvariationsabschätzung. Anhand eines Beispiels wird illustriert, dass bessere Abschätzungen nicht zu erwarten sind. Um Näherungslösungen zu bestimmen werden sowohl ein Finite Volumen Verfahren mit der zugehörigen Triangulierung einer Mannigfaltigkeit definiert als auch ein bestehender Konvergenzbeweis dieses Verfahrens vorgestellt. Es werden Testprobleme formuliert, anhand derer numerische Experimente gemacht werden. Dabei wird experimentell die Konvergenz des Verfahrens und die zeitliche Entwicklung der Totalvariation untersucht.

David Stotz

[Bild David Stotz] Herr David Stotz erhält den Alumni-Preis 2010 für seine Diplomarbeit "Homogeneous Coordinates on Toric Varieties via Methods from Geometric Invariant Theory".

Die Idee, homogene Koordinaten auf torischen Varietäten zu konstruieren, entspringt dem Modellbeispiel des projektiven Raums oder auch der klassisch gut verstandenen Hirzebruch Fläche. Hierfür ist es notwendig den Quotienten nach einer Gruppenwirkung aus einem afiinen Raum zu bilden. Die allgemeine Theorie der Quotientenbildung von algebraischen Varietäten wird in der Geometrischen Invariantentheorie behandelt. Diese stellt nützliche Resultate bereit, wie zum Beispiel das Hilbert-Mumford Kriterium, welches einem erlaubt die stabilen Punkte einer gegebenen algebraischen Gruppenwirkung zu finden. Das Ziel der Arbeit war es, die Natürlichkeit der allgemeinen Quotientenkonstruktion von torischen Varietäten darzustellen und dabei einen modifizierten Beweis für den Satz zu geben, welcher erklärt wann man diesen Quotienten als Bahnenraum erhält. Maßgebend für ersteres ist dabei die Betrachtung des Cox-Rings, der im Falle von torischen Varietäten die besonders einfache Struktur hat, nämlich ein Polynomring ist und somit also einen affinen Raum beschreibt. Der modifizierte Beweis beruht auf dem Hilbert-Mumford Kriterium aus der Invariantentheorie, das einem erlaubt die notwendige Berechnung auf der Basis der konvexen Kegel durchzuführen, deren Geometrie eine torische Varietät definiert.