Preise und Auszeichnungen 2009

Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2009

[Bild Nena Röttgen] Nena Röttgen wurde für ihre Diplomarbeit "Existenz von Minimax-Geodätischen" mit dem "Ferdinand-von-Lindemann-Preis 2009" ausgezeichnet. In der Arbeit wird die Existenz einer vollständigen (nicht geschlossenen) Geodätischen vom Minimaxtyp zwischen zwei minimalen Geodätischen gezeigt.

Das Minimax-Prinzip wurde 1917 von G. D. Birkhoff eingeführt, um die Existenz geschlossener Geodätischer auf beliebigen Sphären zu zeigen. Es ist seither eine wichtige Methode in der Variationsrechnung geworden, die in vielfältigen Variationen Anwendung findet. In dieser Arbeit wird dieses Prinzip angewendet, um die Existenz einer Minimax-Geodätischen im innern eines von zwei minimalen Geodätischen berandeten Streifens zu zeigen. Birkhoff definierte in seinem Beweis zunächst einen Verkürzungsprozess auf geschlossenen Kurven und wendete diesen auf nicht zusammenziehbare Homotopien an. Indem er die Länge der längsten auftretenden Kurve minimierte, fand er eine Folge von Kurven, die gegen eine geschlossene Geodätische konvergiert. Überträgt man diese idee auf Homotopien zwischen zwei minimalen Geodätischen, so treten neue Fragen auf: Was ist das zugehörige variationsproblem? Lässt sich der verkürzungsprozess sinnvoll anpassen? Konvergieren die wie in Birkhoffs Beweis konstruierten kurven gegen eine Geodätische? In dieser Arbeit wird ein Funktional definiert, das die Länge einer Kurve mit der länge einer Randkurve vergleicht. Ist die Oberfläche des Streifens endlich und die Krümmung nach oben beschränkt, kann mit diesem Funktional das Variationsproblem sinnvoll beschrieben werden. es wird gezeigt, dass die genannten Bedingungen hinreichend sind, um den Birkhoff-Prozess zu verallgemeinern und die gewünschte Konvergenzeigenschaft, die sogenannte Palais-Smale-Bedingung, zu zeigen. analog zum klassischen Beweis kann somit die Existenz einer Geodätischen im Innern des Streifens gezeigt werden, die aufgrund der Konstruktion als Minimax-Geodätische bezeichnet wird.