Preise und Auszeichnungen 2005

Ferdinand-von-Lindemann-Prize 2005

In seiner Dissertation "Biharmonic maps " untersucht Dr. Tobias Lamm biharmonische Abbildungen und deren zugehörigen Wärmefluss. Dabei wurden unter geeigneten Nebenbedingungen die Langzeitexistenz und die Konvergenz des Wärmeflusses gezeigt. Weiterhin wurde ein Kompaktheitsresultat für eine Approximation von harmonischen Abbildungen durch biharmonische Abbildungen bewiesen.

Begründung: In Folge unserer immer stärker werdenden Abhängigkeit von empfindlichen technischen Geräten hat auch die Bedrohung durch die elektrisch geladenen Sonnenstürme zugenommen. Über deren Entstehung ist bisher nicht viel bekannt, bedingt durch die Schwierigkeiten, direkte Messungen vorzunehmen. Daher sind numerische Simulationen ein unverzichtbares Werkzeug zum besseren Verständnis der physikalischen Prozesse im Inneren der Sonne und ein wichtiger Schritt, um zuverlässige Vorhersagen machen zu können. Bei der Entwicklung solcher Methoden kann die numerische Mathematik einen zentralen Beitrag leisten.rtielle Differentialgleichungen vierter Ordnung spielen eine wichtige Rolle in der Geometrie und Physik, wie z.B. beim Studium der Willmoreflächen oder der Plattengleichung. Da die hierzu notwendigen analytischen Hilfsmittel noch nicht weit entwickelt sind, werden biharmonische Abbildungen als ein explizites Modellproblem untersucht.

Methodik: für partielle Differentialgleichungssysteme vierter Ordnung kein allgemeines Maximumprinzip vorhanden ist, erfolgt das Studium der biharmonischen Abbildungen mit Hilfe von Energieabschätzungen. Aufgrund der Invarianz der Lösungen unter Streckungen tritt dabei auch eine so genannte Konzentrations-Kompaktheits-Alternative auf. Mit Hilfe eines Reskalierungsprozesses wird der Fall der Konzentration genauer untersucht.

Ergebnisse: Durch geeignet gewählte Voraussetzungen an die Anfangsenergie oder die Geometrie des Zielraumes lässt sich der Fall der Konzentration beim biharmonischen Wärmefluss ausschließen. Damit erhält man die Langzeitexistenz und die Konvergenz des Flusses. Im Fall der Approximation von harmonischen Abbildungen durch biharmonische Abbildungen lässt sich die Konzentration nicht ausschließen. Dennoch kann die Abbildung in der Nähe der Konzentrationsmenge sehr genau beschrieben werden. Dies reicht aus, um ein verallgemeinertes Kompaktheitsresultat zu beweisen.