Prof. Dr. Victor BangertWir untersuchen Probleme und Phänomene, die sich im Zusammenspiel der Gebiete Differentialgeometrie, Variationsrechnung und Theorie der Dynamischen Systeme ergeben. Das beste Beispiel dafür ist die Frage nach dem Verlauf der geodätischen (=lokal kürzesten) Linien in einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Hier untersuchen wir die Existenz von geschlossenen (=periodischen) Geodätischen und die Eigenschaften von global kürzesten Geodätischen (Aubry-Mather Theorie). Statt die Länge von Kurven zu minimieren, kann man die Oberfläche von Hyperflächen minimieren. Für diesen Fall entwickeln wir eine analoge Theorie für global minimierende Hyperflächen. Dabei gibt es enge Bezüge zur Geometrischen Maßtheorie. Einer verwandten Fragestellung ist unsere Untersuchung holomorpher Kurven in fastkomplexen 4-Tori gewidmet.
Prof. Dr. Sören BartelsDie Arbeitsgruppe beschäftigt sich mit der Entwicklung und Analyse numerischer Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen, die in den Materialwissenschaften und in der Geometrie auftreten. Basierend auf Aussagen zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der nicht-linearen Differentialgleichungen werden Zeitschrittverfahren und Finite-Elemente-Methoden im Hinblick auf Stabilität und Konvergenz untersucht. Die so entwickelten Approximationsmethoden werden experimentell mit Hilfe leistungsfähiger Rechner getestet und erlauben die Beurteilung der Eignung der zugrundeliegenden mathematischen Modelle für praktische Vorhersagen.
Prof. Dr. Ernst EberleinDie Arbeitsgruppe befasst sich mit Aspekten der empirischen Analyse von Finanzmarktdaten, ihrer Modellierung, der Bewertung von derivativen und strukturierten Produkten in diesen Modellen, sowie der effizienten Numerik von Bewertungsformeln. Die Quantifizierung von Chancen und Risiken in der Finanzindustrie durch stochastische Modelle hat in den letzten Jahrzehnten enorme Fortschritte gemacht. Die Fähigkeit von Finanzinstitutionen, Chancen und Risiken zu identifizieren, zu messen und damit die Grundlage für ihre Steuerung zu schaffen, ist ein Faktor von hoher strategischer Bedeutung geworden. Ziel der Arbeitsgruppe ist die Entwicklung stochastischer Modelle, mit denen die Wertentwicklung komplexer Finanzprodukte realistischer beschrieben werden kann als dies durch klassische Diffusionsmodelle möglich ist. Untersucht werden Fragen zum Markt- und Kreditrisiko. Als besonders attraktiv haben sich dabei Modelle erwiesen, die von Lévyprozessen getrieben werden. Lévyprozesse lassen auch Sprünge zu oder entwickeln sich wie etwa hyperbolische Prozesse nur durch Sprünge. Die von diesen Prozessen generierten statistischen Verteilungen sind außerordentlich flexibel und gestatten eine exaktere Modellierung empirisch gemessener Verteilungen.
Prof. Dr. Sebastian GoetteSpeziell:
Prof. Dr. Annette Huber-KlawitterDie Frage nach dem Lösungsverhalten von Polynomgleichungen mit ganzen Koeffizienten ist ein altes Problem der Zahlentheorie. In der arithmetischen Geometrie geht man es an, in dem man die Lösungsmengen zunächst als geometrische Objekte auffasst.Der Vorteil ist, dass nun der hochentwickelte Methodenkatalog der Geometrie und Topologie eingesetzt werden kann. Es stellt sich auch heraus, dass die geometrischen Eigenschaften oft wirklich das arithmetische Verhalten bestimmen.
Arithmetische Geometrie ist ein sehr vielseitiges und technisch anspruchsvolles Gebiet. Es bestehen Verbindungen in die klassische analytische und algebraische Zahlentheorie, die algebraische Geometrie, komplexe Geometrie, Darstellungstheorie und die algebraische Topologie.
PD Dr. Markus JunkerAllgemeine Modelltheorie und Stabilitätstheorie, insbesondere Modelltheorie von Körpern und Gruppen, stabile Gruppen und Cherlins Vermutung, äquationale Theorien, Heyting-Algebren.
Prof. Dr. Stefan KebekusDie Algebraische Geometrie ist eines der ältesten und gleichzeitig eines der aktivsten Forschungsgebiete der Mathematik. Vereinfachend gesprochen geht es in der algebraischen Geometrie um das Studium geometrischer Räume, die durch besonders einfache Gleichungen beschrieben werden, aber eine sehr komplizierte Geometrie besitzen können. Für viele Mathematiker ist das Gebiet besonders faszinierend, weil Anschauung und geometrische Intuition genau so wichtig sind wie hochabstrakte Begriffsbildungen der modernen Algebra und Zahlentheorie.
Neben Verbindungen zur Differentialgeometrie hat Algebraische Geometrie viele Anknüpfungspunkte zu anderen Gebieten der Mathematik, wie etwa der Zahlentheorie, der Topologie, der Darstellungstheorie und der komplexen Analysis. Algebraische Geometrie spielt aber auch in einigen Bereichen der theoretischen Physik eine wichtige Rolle und ist ein unerlässliches Hilfsmittel für moderne Datensicherheit und Verschlüsselungstechnik geworden.
StR Martin KramerDidaktik ist die Kunst des Lehrens. Der Schwerpunkt der Didaktik-Abteilung liegt entsprechend in der Vermittlung dieser Kunst für den schulischen Alltag. So möchten die Didaktik-Veranstaltungen eine Brücke zwischen theoretischem Studium und unterrichtlicher Praxis schlagen. Die Didaktik-Abteilung zeigt konkret einen erlebnis- und handlungsorientierten Mathematikunterricht auf, der auf einem konstruktivistischen Lernverständnis beruht.
Prof. Dr. Dietmar Kröner
Prof. Dr. Ernst KuwertViele interessante geometrische Objekte sind durch Variationsprinzipien charakterisiert, zum Beispiel Minimalflächen und harmonische Abbildungen. Willmoreflächen sind Minima oder kritische Punkte einer Krümmungsenergie. In unserer Arbeitsgruppe geht es um Fragen der Existenz und Regularität von Minimierern oder allgemeiner Lösungen der Euler-Lagrange Gleichungen, sowie um Kompaktheitseigenschaften von Folgen von Lösungen. Auch die zugehörigen Gradientenflüsse mit ihren eventuellen Singularitäten werden analytisch studiert.
PD Dr. Alex KüronyaMein Forschungsgebiet ist die algebraische Geometrie, die sich hauptsächlich mit den Eigenschaften der Lösungsmengen polynomialer Gleichungen beschäftigt. Sie ist ein grundlegender Bestandteil der modernen Mathematik mit Beziehungen zu vielen anderen Gebieten, die von der Zahlentheorie über die Darstellungstheorie bis hin zu integrablen Systemen und der mathematischen Physik reichen.
Mein Interesse gilt der Erforschung linearer Systeme auf Varietäten über den komplexen Zahlen.
Prof. Dr. Hans Rudolf Lerche
Prof. Dr. Heike MildenbergerDie mengentheoretischen Axiome, die die Axiome für die gesamte Mathematik sind, legen einige allgemein akzeptierte Grundwahrheiten über die Existenz mathematischer Objekte fest. Die Mengenlehre ist die kombinatorische Untersuchung mathematischer Strukturen auf der Basis dieser Axiome. Im Zentrum des Interesses stehen Strukturen, die für weitere mengentheoretische Eigenschaften relevant sind, wie zum Beispiel Halbordnungen und Mengensysteme auf Potenzmengen. Die Mengenlehre hilft bei Fragen aus allen mathematischen Gebieten über unendliche oder überabzählbare Konstellationen, zu denen die Axiome möglicherweise keine eindeutige Antwort geben, durch Bereitstellung relativ widerspruchsfreier Erweiterungen des Axiomensystems.
Prof. Dr. Peter PfaffelhuberMeine Forschung beschäftigt sich mit probabilistischen Aspekten in der Biologie. In der Systembiologie stehen Interaktionen von Proteinen oder anderen Molekülen innerhalb einer Zelle im Mittelpunkt. Solche Interaktionen werden mit Hilfe von Netzwerken und Modellen der mathematische Chemie behandelt. Die Populationsgenetik zielt darauf ab, genetische Daten einer Populationsstichprobe zu verstehen. Ein mächtiges Werkzeug stellen hierbei zufällige genealogische Bäume, sogenannte Koaleszenten, dar. Ziel meiner Forschung ist einersteits, Biologie als quantitative Wissenschaft zu etablieren, andererseits neue mathematische Modelle für Phänomene der lebenden Welt aufzustellen.
Prof. Dr. Ludger Rüschendorf
Prof. Dr. Michael RůžičkaDie Arbeitsgruppe beschäftigt sich mit der theoretischen und numerischen Analysis von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen. Diese werden mit Techniken und Ideen aus ganz verschiedenen Bereichen, wie z.B. der Funktionalanalysis, der Funktionenraumtheorie oder der numerischen Fehleranalyse, behandelt. Apriori Abschätzungen und Grenzwertprozesse spielen eine zentrale Rolle. Die behandelten Probleme sind meist durch Fragestellungen aus der Strömungsmechanik oder der Geometrie motiviert.
Prof. Dr. Martin Schumacher (kooptiert)
Prof. Dr. Wolfgang SoergelDie Darstellungstheorie beschäftigt sich mit dem Studium von Symmetrien. Schwerpunkt der Arbeitsgruppe sind die algebraischen Aspekte der Darstellungstheorie nichtkompakter Liegruppen und die Darstellungstheorie algebraischer Gruppen in positiver Charakteristik. In beiden Fällen führt man die Bestimmung der irreduziblen Charaktere auf die Berechnung der Schnittkohomologie von Schubertvarietäten zurück.
Prof. Dr. Guofang WangSpeziell:
Prof. Dr. Katrin WendlandDie Arbeitsgruppe beschäftigt sich mit Fragestellungen, die traditionell an die mathematische und theoretische Physik anknüpfen und zum Teil aus der Stringtheorie motiviert werden können.
Einen Schwerpunkt bildet hierbei das Studium von Quantenfeldtheorien, insbesondere von topologischen Quantenfeldtheorien und von konformen Quantenfeldtheorien. Die verwendeten Methoden erstrecken sich von klassischer Indextheorie und globaler Analysis über Techniken aus der komplexen und algebraischen Geometrie bis hin zur symplektischen Geometrie und ihren Beziehungen zur Theorie der integrablen Systeme.
Die Modelltheorie beschäftigt sich mit strukturellen Eigenschaften mathematischer Objekte, die mit Methoden, die aus der mathematischen Logik kommen, beschrieben werden können. Einerseits werden in solchen modelltheoretischen Theorien Eigenschaften untersucht, die es erlauben die zugehörigen Modelle einer solchen Theorie zu charakterisieren. Andererseits werden ausgehend von bekannten mathematischen Strukturen wie etwa angeordeten Körpern, Differentialkörpern, Graphen, kompakte holomorphe Mannigfaltigkeiten, deren modelltheoretische Eigenschaften gesucht, die es erlauben, neue Erkenntnisse über auf den ersten Blick disparate Strukturen zu gewinnen.